Discussione di un problema di geometria analitica

[circe]

potreste aiutarmi con questo problema?:

è dato un settore circolare AOB con angolo al centro di 120°, il cui raggio misura r. Sia Cil punto medio dell'arco AB, determinare su OC un punto P in modo che risulti 2PA^2+PC^2=kr^2 con k appartenente a R. Discussione

grazie mille in anticipo!!!!!

Aggiunto 6 ore 19 minuti più tardi:

grazie mille!!!! :thx

[ciampax]

Dunque, indico con

[math]x=P\hat{A}O[/math]

. Se

[math]P[/math]

va scelto sul segmento

[math]OC[/math]

segue che, essendo

[math]A\hat{O}C=60[/math]

(la metà dell'angolo di apertura del settore circolare) deve pure essere

[math]A\hat{P}O=180-60-x=120-x[/math]

. Utilizzando il teorema dei seni otteniamo

[math]\frac{PO}{\sin x}=\frac{PA}{\sin 60}=\frac{AO}{\sin(120-x)}[/math]

o anche, ricordando che AO è il raggio del settore,

[math]\frac{PO}{\sin x}=\frac{2PA}{\sqrt{3}}=\frac{r}{\sin(120-x)}[/math]

Ne segue che

[math]PO=\frac{r\sin x}{\sin(120-x}},\qquad PA=\frac{\sqrt{3} r}{2\sin(120-x)}[/math]

ed anche

[math]PC=OC-PO=r-\frac{r\sin x}{\sin(120-x}}=r\frac{\sin(120-x)-\sin x}{\sin(120-x)}[/math]

.

La condizione cercata risulta allora

[math]\frac{3r^2}{2\sin^2(120-x)}+\frac{r^2[\sin(120-x)-\sin x]^2}{\sin^2(120-x)}=kr^2[/math]

e dopo opportune semplificazioni

[math]3+2[\sin^2(120-x)-\sin x]^2=2k\sin^2(120-x)[/math]

Osservando che

[math]\sin(120-x)=\sin 120\cos x-\sin x\cos 120=\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x+\frac{1}{2}\sin x=\frac{\sqrt{3}\cos x+\sin x}{2}[/math]

abbiamo

[math]3+\frac{[\sqrt{3}\cos x-\sin x]^2}{2}=\frac{k[\sqrt{3}\cos x+\sin x]^2}{2}[/math]

da cui, dopo opportuni calcoli

[math]6+3\cos^2 x-2\sqrt{3}\sin x\cos x+\sin^2 x=3k\cos^2x+2k\sqrt{3}\sin x\cos x+k\sin^2 x[/math]

e infine

[math](k-1)\sin^2 x+2\sqrt{3}(k+1)\sin x\cos x+3(k-1)\cos^2 x=6[/math]

Prima di risolvere l'equazione, osserviamo che la scelta del valore di

[math]x[/math]

è limitata dalla posizione di

[math]P[/math]

: esso infatti assume valore minimo (

[math]x=0[/math]

) quando

[math]P=O[/math]

e valore massimo (

[math]x=60[/math]

) quando

[math]P=C[/math]

(in tal caso infatti sia ha un triangolo equilatero). Pertanto

[math]0\leq x\leq 60[/math]

.

Per risolvere l'equazione osserviamo che essendo

[math]\sin^2\alpha=1-\cos^2\alpha[/math]

possiamo scrivere

[math]2(k-1)\cos^2x+2\sqrt{3}\sin x\cos x=7-k[/math]

Inoltre, usando le relazioni

[math]\sin x\cos x=\frac{1}{2}\sin(2x),\qquad \cos^2 x=\frac{1+\cos(2x)}{2}[/math]

abbiamo

[math](k-1)\cos(2x)+\sqrt{3}\sin(2x)=8-2k[/math]

che risulta una equazione lineare. Per risolverla, usiamo le espressioni parametriche

[math]\cos(2x)=\frac{1-t^2}{1+t^2},\qquad \sin(2x)=\frac{2t}{1+t^2},\qquad t=\tan x[/math]

per cui

[math](k-1)-(k-1)t^2+2\sqrt{3}t=(8-2k)+(8-2k)t^2[/math]

e quindi

[math](7-k)t^2-2\sqrt{3}t+3(3-k)=0[/math]

Affinché ci siano soluzioni il discriminante dell'equazione deve essere maggiore o uguale di zero: pertanto

[math](2\sqrt{3})^2-12(3-k)(7-k)\geq 0\ \Rightarrow\ k^2-10k+20\leq 0[/math]

le cui soluzioni sono

[math]5-2\sqrt{5}\leq k\leq 5+2\sqrt{5}[/math]

Indicato con

[math]\Delta=-k^2+10k-20[/math]

il discriminante, segue che le soluzioni sono

[math]t_{1,2}=\frac{2\sqrt{3}\pm\sqrt{\Delta}}{2(7-k)}[/math]

.

Ora, dal momento che

[math]0\leq x\leq 60[/math]

e che

[math]t=\tan x[/math]

, deve pure essere

[math]0\leq\t\leq\sqrt{3}[/math]

pertanto vanno risolte le due disequazioni

[math]0\leq\frac{2\sqrt{3}-\sqrt{\Delta}}{2}\leq \sqrt{3}[/math]

[math]0\leq\frac{2\sqrt{3}+\sqrt{\Delta}}{2}\leq \sqrt{3}[/math]

e vanno presi solo i valori in comune con quelli per cui il discriminante risulta positivo. Lascio a te i conti di questa cosa: se hai problemi, fammi sapere.