Discussione di sistemi parametrici...

[Princeps1]

In un triangolo equilatero ABCdi lato 2a condurre una parallela al lato AB che incontri gli altri due lati nei punti M ed N in modo che, detto O il punto medio di AB, risulti k il rapporto tra l'area del triangolo MNO e quella di ABC.

Ho fatto un disegnino con paint, a tal proposito se qualcuno mi sa consigliare un semplice programma per fare disegni di questo tipo mi farebbe un piacere.

Allora:
Il lato è 2a
La condizione è $(S_(MNO))/(S_(ABC))=k$

Calcolo la superficie di ABC con la formula del prodotto di due lati per il seno dell'angolo tra loro compreso (le misure degli angoli sono espresse in gradi sessagesimali):
$S_(ABC)=1/2*2a^2*sin(60)=1/2*4a^2*(sqrt3)/(2)=sqrt3 a^2$

Ora procedo al calcolo di MNO (per omega; s'intende l'angolo NÔM).
$S_(MNO)=1/2*NO^2*sinomega;$

Da
$NO=AO*sin60=sqrt(3)/2a$
consegue
$S_(MNO)=1/2(sqrt3/2a)^2*sinomega;=1/2*3/4a^2*sinomega;=3/8a^2*sinomega;$

Perché si realizzi la condizione $(S_(MNO))/(S_(ABC))=k$ serve quindi che:

$((3a^2sinomega;)/8)/(sqrt3 a^2)=k$
$(3aa^2sinomega)/(8sqrt3a^2)=k$
$(3sqrt3a^2sinomega)/(24a^2)=k$
Dividendo numeratore e denominatore per $3a^2$
$sqrt3/8sinomega=k$

Ora, ponendo:
$y=sqrt3/8sinomega$

La condizione diventa:
$k=y$
E ponendo:
$x=k$
La condizione è soluzione del sistema:
${(x=k),(y=x),(0\ley\lesqrt3/8),(0\lex\lesqrt3/8):}$

Le limitazioni partono dal fatto che il dominio della funzione $sinomega$ in un problema di geometria (che non contempla angoli negativi) è $0\lesinomega\le1$. Moltiplicando per $sqrt3/8$ il dominio risulta $0\lesqrt3/8sinomega\lesqrt3/8$.

Pertanto, risolvendo con metodo grafico (l'unico spiegatomi sinora) ne risultano due "curve":
la curva fissa è la bisettrice del primo e del terzo quadrante;
l'equazione parametrica corrisponde ad un fascio improprio di rette parallele all'asse y.
Considerando le limitazioni, l'unica parte di curva da tenere in considerazione è il segmento che va da O$(0;0)$ ad A$(sqrt3/8;sqrt3/8)

I casi limite sarebbero:
(1) $x=0 => k=0$
(2) $x=sqrt3/8 => k=sqrt3/8$

Pertanto mi risulterebbe vi sia una soluzione per $0\lek\lesqrt3/8$

La soluzione sul mio libro di testo è:
Due soluzioni per $0
Mi piacerebbe sperare in un errore di stampa, ma ho la vaga impressione d'aver sbagliato qualcosa. Il problema è scoprire cosa.
Ringrazio anticipatamente chiunque m'aiuterà, e n'approfitto per salutare, essendo questo il mio primo messaggio in questo forum.

[Sk_Anonymous]

L'errore sta nel considerare rettangolo il triangolo AON che rettangolo non e' !
Inoltre trovo esagerato usare come incognita un angolo:meglio la lunghezza di
un segmento,ad esempio $bar(ZO)$ oppure $bar(MN)$.
karl

[Princeps1]

"karl":L'errore sta nel considerare rettangolo il triangolo AON che rettangolo non e'!

La mia stupidità mi sorprende ogni giorno con nuove mirabolanti imprese...

Prima ero stato ben attento a non considerare rettangolo quel triangolo, però poi nello scriverlo qui mi sono scordato di tanta attenzione, ed ho riscritto il procedimento considerandolo un triangolo rettangolo.
Ora il problema è un altro.


$S_(MNO)=(bar(NM)*bar(NE))/2$
Dati
$bar(NM)=2a-bar(NA)=2a-2bar(AE)$
$NE=bar(NA)sin60=sqrt3/2bar(NA)=sqrt3bar(AE)
risulta:
$S_(MNO)=(2(a-bar(AE))*bar(AE)sqrt3)/2=sqrt3bar(AE)(a-bar(AE))

La condizione:
$S_(MNO)/S_(ABC)=k$
diventa
$(sqrt3*bar(AE)(a-bar(AE)))/(sqrt3a^2)=k
$(bar(AE)*(a-bar(AE)))/a^2=k$
$bar(AE)(a-bar(AE))=k*a^2$

Ponendo $bar(AE)=x$ risulta:
$x^2-ax+ka^2=0$

Ora, anche ponendo $y=-ka^2$, sicché la condizione risulti dalla risoluzione del sistema:
${(y=x^2-ax),(y=-ka^2),(0\lex\lea):}

La curva fissa è una parabola con un parametro noto a: $y=x^2-ax$
Utilizzando come unità di misura sugli assi il parametro a, si tratta di una parabola con vertice $V=(1/2a;-1/4a)$ e passante per i punti $H(a;o)$, $I(2a;3a^2)$, $J(3/2a;3/4a^2)$ e relativi simmetrici (prima mi ero bloccato qui, non avendo ben chiaro il fatto di utilizzare come unità di misura un parametro).

I casi limite di rette del fascio improprio $y=-ka^2$ ch'intersecano l'arco di curva considerato sono le seguenti.
(1)Quando la retta passa per $V(1/2a;-1/4a)$:
$-a/4=-ka$
$a=4ka$
$k=1/4$
(2)Quando la retta passa per $K(a;0)$:
$0=-ka$
$k=0$.

Quindi dovrebbero risultare due soluzioni per $0\lek\le1/4$.

Nella soluzione data nel mio libro, però, lo zero non è incluso ($0

Cita

Segnala

[Sk_Anonymous]

Per k=0 si hanno due soluzioni x=0 e x=a che corrispondono
rispettivamente al caso in cui MN coincide con AB e a quello in cui
MN si riduce al vertice C.Per entrambe le 2 circostanze si ha una
situazione priva di significato perche' il triangolo MNO degenera in un
segmento di area nulla.Il valore k=0 va dunque escluso.
karl

[Princeps1]

Ma qual è il problema se MNO ha area nulla? Se fosse al denominatore capirei (essendo impossibile dividere per zero), ma dal testo del problema si deduce che sia al numeratore, quindi perché va escluso?

[Sk_Anonymous]

Dio mio,volendo si puo' anche prendere k=0.Ma che significato geometrico
avrebbe il rapporto tra le due aree se una di queste ,sia pure a numeratore,non
esistesse? Io dico un significato assai inconsistente.
E' come dire: si consideri un quadrato di lato nullo....
La questione di considerare o meno figure degeneri si presenta spesso
e personalmente rigetterei tutti questi casi.
karl

[Princeps1]

"karl":Dio mio,volendo si puo' anche prendere k=0.Ma che significato geometrico
avrebbe il rapporto tra le due aree se una di queste ,sia pure a numeratore,non
esistesse? Io dico un significato assai inconsistente.
E' come dire: si consideri un quadrato di lato nullo....
La questione di considerare o meno figure degeneri si presenta spesso
e personalmente rigetterei tutti questi casi.
karl

Mmm, la nostra prof. di solito ce li faceva considerare ipotesi valide, però magari gli esercizi che lei ci proponeva provenivano da un altro libro, evidentemente sul libro che ho in uso fanno un ragionamento differente. Il mio dubbio era proprio dovuto a questo, però essendo, a quanto ho capito, questione di punti di vista, probabilmente il motivo è quello suddetto.

Ti ringrazio per l'assistenza .