Discussione di problemi di secondo grado

[Sk_Anonymous]

In un triangolo ABC, l'angolo $B^$ è doppio dell'angolo $C^$. Inoltre è $BC=a, AC=b$. Calcolare il valore $x$ dell'angolo $BCA$.

[Sk_Anonymous]

Visto che nessuno si è accinto a risolverlo, vi posto la soluzione:
Dal triangolo $ABC$ , per il teorema dei seni, si ha:
$a/(sen(180°-3x))=b/(sen2x)$,
ossia:
$asen2x=bsen3x$, ovvero:
$2asenxcosx=3bsenx-4bsen^3x$,
ossia:
$2acosx=3b-4bsen^2x$, perchè è , evidentemente, $ senx$ diverso da $0$.
Possiamo perciò dire che il problema si traduce nel sistema:
$4bsen^2x+2acosx=3b , sen^2x+cos^2x=1$ con le condizioni: $1/2 Posto $X=cosx, Y=senx$, si può scrivere:
$Y^2=-a/(2b)X+3/4, X^2+Y^2=1$, con le condizioni: $1/2 Rispetto ad un sistema di assi cartesiani ortogonali $OXY$, l'equazione:
$Y^2=-a/(2b)X+3/4$,
rappresenta una parabola simmetrica rispetto all'asse X, avente per vertice il punto $V((3b)/(2a),0)$ e che incontra l'asse Y nei punti $A(0,sqrt3/2), A'(0,-sqrt3/2).

[Sk_Anonymous]

L'equazione: $X^2+Y^2=1$, rappresenta una circonferenza di centro $O$ e raggio unitario.
Le soluzioni del problema sono rappresentate geometricamente dai punti di intersezione della parabola con la circonferenza lecui coordinate $(X,Y)$ verificano le suddette condizioni.
Di tali punti, facendo un grafico accurato della parabola+circonferenza, ne può esistere uno ed uno solo e ciò avviene quando il vertice $V$ della parabola è esterno alla circonferenza, cioè quando risulta:
$(3b)/(2a)>1 -> b>(2a)/3$.
Concludendo,possiamo dire che il problema è possibile solo per $b>(2a)/3$ e in tale ipotesi ammette una sola soluzione.