Discontinuità funzioni
aiuto ragazzi 
leggendo la teoria, le discontinuità mi sembrano chiare, poi andando a fare gli esercizi, mi inceppo
ad esempio
$ y=x/log(1+x)$
è definita per $ x> -1 $ e $ x!=0$
$\lim_{x \to \0}f(x)$ = 1
perchè dividendo per x, ed applicando il prodotto notevole, riesco ad eliminare la discontinuità. quindi è di terza specie
ma per x tendente a -1, come si fa? Come faccio ad eliminarla?
poi ho $y=(x-2)/(|x-2|) e^(1/(x))
si annulla per x= 2 e x=0
e si dovrebbe trovare che per x=2 è di prima specie, x=0 seconda, ma io mi trovo che per x->2 il limite è uguale!
leggendo la teoria, le discontinuità mi sembrano chiare, poi andando a fare gli esercizi, mi inceppo
ad esempio
$ y=x/log(1+x)$
è definita per $ x> -1 $ e $ x!=0$
$\lim_{x \to \0}f(x)$ = 1
perchè dividendo per x, ed applicando il prodotto notevole, riesco ad eliminare la discontinuità. quindi è di terza specie
ma per x tendente a -1, come si fa? Come faccio ad eliminarla?
poi ho $y=(x-2)/(|x-2|) e^(1/(x))
si annulla per x= 2 e x=0
e si dovrebbe trovare che per x=2 è di prima specie, x=0 seconda, ma io mi trovo che per x->2 il limite è uguale!
Risposte
la discontinuità è eliminabile solo se è di terza specie
per x-> -1 hai una discontinuità di seconda specie ( il limite è $+oo$)
attenta ai termini : la funzione non si annulla, bensì non è definita in quei punti
penso che tu abbia scritto male la funzione, perchè altrimenti quello che dici è sbagliato
se, come penso, la funzione è $y=((x-2)/|x-2|)*e^(1/x)$per x=2 non puoi avere lo stesso limite, poichè a destra, cioè per $x->2^+$, la funzione è : $y=(x-2)/(x-2)*e^(1/x)$ ed il limite vale $e^(1/2)=sqrt(e)$
a sinistra, cioè per $x->2^-$ la funzione è : $y=(x-2)/(2-x)*e^(1/x)$ ed il limite vale $-e^(1/2)=-sqrt(e)$
per x-> -1 hai una discontinuità di seconda specie ( il limite è $+oo$)
attenta ai termini : la funzione non si annulla, bensì non è definita in quei punti
penso che tu abbia scritto male la funzione, perchè altrimenti quello che dici è sbagliato
se, come penso, la funzione è $y=((x-2)/|x-2|)*e^(1/x)$per x=2 non puoi avere lo stesso limite, poichè a destra, cioè per $x->2^+$, la funzione è : $y=(x-2)/(x-2)*e^(1/x)$ ed il limite vale $e^(1/2)=sqrt(e)$
a sinistra, cioè per $x->2^-$ la funzione è : $y=(x-2)/(2-x)*e^(1/x)$ ed il limite vale $-e^(1/2)=-sqrt(e)$
"Nicole93":
la discontinuità è eliminabile solo se è di terza specie
per x-> -1 hai una discontinuità di seconda specie ( il limite è $+oo$)
attenta ai termini : la funzione non si annulla, bensì non è definita in quei punti
penso che tu abbia scritto male la funzione, perchè altrimenti quello che dici è sbagliato
se, come penso, la funzione è $y=((x-2)/|x-2|)*e^(1/x)$per x=2 non puoi avere lo stesso limite, poichè a destra, cioè per $x->2^+$, la funzione è : $y=(x-2)/(x-2)*e^(1/x)$ ed il limite vale $e^(1/2)=sqrt(e)$
a sinistra, cioè per $x->2^-$ la funzione è : $y=(x-2)/(2-x)*e^(1/x)$ ed il limite vale $-e^(1/2)=-sqrt(e)$
grazie mille,
ma non ho capito perchè il limite è +infinito, per x tendente a -1
cioè, il logaritmo in base e di 0 non esiste, quindi è uguale a 0?
non mi è chiara questa cosa. se non esiste, non è uguale a zero... cosa sbaglio?
"Nausicaa91":
$ y=x/log(1+x)$ è definita per $ x> -1 $ e $ x!=0$
$\lim_{x \to \0}f(x)$ = 1
perchè dividendo per x, ed applicando il prodotto notevole, riesco ad eliminare la discontinuità. quindi è di terza specie
ma per x tendente a -1, come si fa? Come faccio ad eliminarla?
$\lim_{x \to \-1^+}f(x) = (-1)/(-oo)=0$, poiché il dominio è $ x> -1 $, non esiste il $\lim_{x \to \-1^-}f(x)$, quindi l'unico limite che può essere calcolato è quello da destra e vale 0, si tratta di una discontinuità eliminabile.
"Nausicaa91":
$y=(x-2)/(|x-2|) e^(1/(x))$
il dominio è $x!=0 ^^x!=2$
$\lim_{x \to \2}f(x)$ non esiste
$\lim_{x \to \2^-}f(x)=$ siccome x è minore di 2, $|x-2|=2-x$ perciò il limite diventa
$\lim_{x \to \2^-}(x-2)/(2-x) e^(1/(x))=\lim_{x \to \2^-}-e^(1/(x))=-sqrt2$
invece per calcolare
$\lim_{x \to \2^+}f(x)$, siccome $x>2$, il valore assoluto diventa $|x-2|=x-2$ perciò calcolando il limite si ottiene
$\lim_{x \to \2^+}(x-2)/(x-2) e^(1/(x))=\lim_{x \to \2^+}e^(1/(x))=sqrt2$
I due limiti, quello destro e quello sinistro, sono entrambi finiti, ma sono opposti, quindi il limite non esiste, ci troviamo di fronte ad una discontinuità con salto (prima specie)
Anche nel caso di $x->0$ il limite non esiste, e bisogna calcolare separatamente il limite destro e quello sinistro
$\lim_{x \to \0^-}f(x)=(-2)/|-2|*e^(1/0^-)=-1*e^(-oo)=0$
$\lim_{x \to \0^+}f(x)=(-2)/|-2|*e^(1/0^+)=-1*e^(+oo)=-oo$
Questa volta otre ad essere diversi uno dei due limiti tende a $oo$, quindi si tratta di una discontinuità con asintoto verticale (seconda specie)
Spero di essere stata chiara.
scusa, ho invertito la funzione
infatti per $x->-1^+$il log tende a $-oo$, ma , poichè è al denominatore, la funzione tende a 0
quindi il punto di discontinuità è di terza specie, e la discontinuità si può eliminare definendo in quel punto la funzione così :
y=0 per x=-1
correggo anche una svista di @melia, in quanto il $lim per x->2^+$ della seconda funzione non è $sqrt2$ ma $sqrte$, e quello per $x->2^-$ è $-sqrte$
infatti per $x->-1^+$il log tende a $-oo$, ma , poichè è al denominatore, la funzione tende a 0
quindi il punto di discontinuità è di terza specie, e la discontinuità si può eliminare definendo in quel punto la funzione così :
y=0 per x=-1
correggo anche una svista di @melia, in quanto il $lim per x->2^+$ della seconda funzione non è $sqrt2$ ma $sqrte$, e quello per $x->2^-$ è $-sqrte$
mamma mia, chiarissima! 
Grazie a tutti comunque.
Grazie a tutti comunque.
@ Nausicaa91 prego
@ Nicole93 grazie di aver corretto
@ Nicole93 grazie di aver corretto
un'ultima cosa... hai scritto che è una discontinuità eliminabile.(nel primo eserzio, quello del logaritmo) Ma perchè è tale?
Dovrebbe essere di terza specie, ma perchè?
Dovrebbe essere di terza specie, ma perchè?
Perché il limite esiste (siamo ad un estremo del dominio e non servono sia lim dx che lim sx perché il limite esista) ed è finito.
è di terza specie quando il limite della funzione per x-->c esiste ed è finito ma f(c) non eesiste o è diversa dal valore del limite.
quindi il limite esiste (anche se solo quello da destra, giusto) però f(c) non esiste, in questo caso.
vero?
quindi il limite esiste (anche se solo quello da destra, giusto) però f(c) non esiste, in questo caso.
vero?
Esatto
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