Discontinuità di 3^ specie
ciao, ho un dubbio su questa funzione
$y=(x)/(ln(1+x))$, il cui dominio è $-10$
in $x=0$ c'è una discontinuità di 3^ specie, ma in $x=-1$??
$y=(x)/(ln(1+x))$, il cui dominio è $-1
in $x=0$ c'è una discontinuità di 3^ specie, ma in $x=-1$??
Risposte
Ciao @DanteOlivieri !
Provo a risponderti io, ma attendi pareri più autorevoli che confermino o smentiscano ciò che sto per scriverti. Innanzitutto ti rispondo come se stessi parlando ad uno studente di quinto anno di scuole superiori, dato che hai postato in questa sezione. Dico questo perché mi permette di tralasciare tutta la diatriba sulle definizioni di punto di discontinuità (un punto fuori dal dominio, ma di accumulazione per il dominio, come in questo caso, può essere considerato di discontinuità ?). Purtroppo su questo fatto non c'è ancora uniformità di definizioni tra i matematici, ma troverai decine di discussioni al riguardo su questo forum se ti interessa approfondire. Oggigiorno ho notato che i libri delle scuole superiori che vanno per la maggiore hanno iniziato ad informare gli studenti su questa pseudo ambiguità (uso il termine pseudo perché le definizioni ognuno le dà come preferisce) distinguendo tra punti di discontinuità (appartenenti al dominio) e punti di singolarità (come nel tuo esempio, cioè punti di accumulazione agli estremi del dominio). Ma già mi sono dilungato troppo. Veniamo alla domanda. Bella domanda
; non tanto per la difficoltà della risposta, quanto perché, anche qui, vale un discorso di definizioni. Se non sbaglio, sui libri delle scuole superiori, in questo caso $x=-1$ sarebbe considerato punto di discontinuità (singolarità) di terza specie e, riflettendoci, è quello che "ci si avvicina di più" tra le tre tipologie. Infatti si ha discontinuità di terza specie, come sai, se $lim_(x -> x_0) f(x)=l$ finito e se $f(x_0)$ non esiste (perché $x_0 \notin D$) oppure $lim_(x -> x_0) f(x)!=f(x_0)$. Ora, in questo caso, chiaramente non si può fare $lim_(x -> -1^-) f(x)$, ma solo $lim_(x -> -1^+) f(x)$ ed il valore di quest'ultimo limite, che è pari a 0, è finito. Non si può fare nemmeno $f(-1)$ perché $-1 notin D$, per cui ricadiamo nel caso terza specie (o eliminabile). D'altronde, come dice il nome, potresti eliminare questa discontinuità riscrivendo la funzione come:
$y={ ( x/ln(1+x) if x> -1 ^^ x!=0 ),(0 if x=-1),( 1 if x=0 ):}$
Come ti accennavo, tuttavia, anche qui mi pare sia una questione di definizioni. Io lo vedrei come terza specie anche se non si può fare il limite sinistro (perché fuori dal dominio), ma, a tale riguardo, dovresti far riferimento al tuo professore/ssa per vedere come lo considera lui/lei. Mi dispiace di non poter essere più risolutivo di così e spero di non averti confuso maggiormente.
Come sempre,
saluti
Provo a risponderti io, ma attendi pareri più autorevoli che confermino o smentiscano ciò che sto per scriverti. Innanzitutto ti rispondo come se stessi parlando ad uno studente di quinto anno di scuole superiori, dato che hai postato in questa sezione. Dico questo perché mi permette di tralasciare tutta la diatriba sulle definizioni di punto di discontinuità (un punto fuori dal dominio, ma di accumulazione per il dominio, come in questo caso, può essere considerato di discontinuità ?). Purtroppo su questo fatto non c'è ancora uniformità di definizioni tra i matematici, ma troverai decine di discussioni al riguardo su questo forum se ti interessa approfondire. Oggigiorno ho notato che i libri delle scuole superiori che vanno per la maggiore hanno iniziato ad informare gli studenti su questa pseudo ambiguità (uso il termine pseudo perché le definizioni ognuno le dà come preferisce) distinguendo tra punti di discontinuità (appartenenti al dominio) e punti di singolarità (come nel tuo esempio, cioè punti di accumulazione agli estremi del dominio). Ma già mi sono dilungato troppo. Veniamo alla domanda. Bella domanda
; non tanto per la difficoltà della risposta, quanto perché, anche qui, vale un discorso di definizioni. Se non sbaglio, sui libri delle scuole superiori, in questo caso $x=-1$ sarebbe considerato punto di discontinuità (singolarità) di terza specie e, riflettendoci, è quello che "ci si avvicina di più" tra le tre tipologie. Infatti si ha discontinuità di terza specie, come sai, se $lim_(x -> x_0) f(x)=l$ finito e se $f(x_0)$ non esiste (perché $x_0 \notin D$) oppure $lim_(x -> x_0) f(x)!=f(x_0)$. Ora, in questo caso, chiaramente non si può fare $lim_(x -> -1^-) f(x)$, ma solo $lim_(x -> -1^+) f(x)$ ed il valore di quest'ultimo limite, che è pari a 0, è finito. Non si può fare nemmeno $f(-1)$ perché $-1 notin D$, per cui ricadiamo nel caso terza specie (o eliminabile). D'altronde, come dice il nome, potresti eliminare questa discontinuità riscrivendo la funzione come:$y={ ( x/ln(1+x) if x> -1 ^^ x!=0 ),(0 if x=-1),( 1 if x=0 ):}$
Come ti accennavo, tuttavia, anche qui mi pare sia una questione di definizioni. Io lo vedrei come terza specie anche se non si può fare il limite sinistro (perché fuori dal dominio), ma, a tale riguardo, dovresti far riferimento al tuo professore/ssa per vedere come lo considera lui/lei. Mi dispiace di non poter essere più risolutivo di così e spero di non averti confuso maggiormente.
Come sempre,
saluti
okkk grazie! in realtà avevo capito subito dopo aver postato che fosse un punto di discontinuità di 3^ specie, e mi sono dimenticato di cancellare
semplicemente non mi tornava il fatto di dover sostituire il valore a cui tende il limite all'interno della funzione, perché "continuavo a fare il limite", andando in un loop infinito (lo so, sono stupido), invece dovevo ometterlo hahah
semplicemente non mi tornava il fatto di dover sostituire il valore a cui tende il limite all'interno della funzione, perché "continuavo a fare il limite", andando in un loop infinito (lo so, sono stupido), invece dovevo ometterlo hahah
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