Discontinuità
Come posso fare per risolvere questo es??
$y=(e^(xm)+1)/(e^m-x)$
$y=(e^(xm)+1)/(e^m-x)$
Risposte
E cosa dovresti fare?
credo che tu voglia sapere il dominio di definizione, vero? In tal caso ricorda che il denominatore deve essere sempre diverso da zero
penso che devi classificare i punti di discontinuità
il CE è $x!=e^m$
quindi $x=e^m$ può essere un punto di discontinuità
studiamo il limite sinistro
$lim_(xto(e^m)^-)(e^(xm)+1)/(e^m-x)$=$lim_(xto(e^m)^-)(e^(e^mm)+1)/(e^m-e^m)$=$oo$
quindi il punto $x=e^m$ è un punto di discontinuità di secondo specie...
giusto?...
il CE è $x!=e^m$
quindi $x=e^m$ può essere un punto di discontinuità
studiamo il limite sinistro
$lim_(xto(e^m)^-)(e^(xm)+1)/(e^m-x)$=$lim_(xto(e^m)^-)(e^(e^mm)+1)/(e^m-e^m)$=$oo$
quindi il punto $x=e^m$ è un punto di discontinuità di secondo specie...
giusto?...
Ma come fa un punto ad essere di discontinuità, se la funzione non è nemmeno ivi definita?
Caro fire, purtroppo al liceo si è soliti far intendere agli alunni che una funzione è discontinua quando, per disegnarla, devi staccare la penna dal foglio... Io stesso mi sono portato dietro questa convinzione fino a non troppo tempo fa...
beh scusa, ma quando la funzione tende a quel punto va su all'infinito, quindi è discontinua, o sbaglio?--- se il limite destro e il limite sinistro erano uguali, ma in quel punto non è definita la funzione era di terza specie, o sbaglio?--- è sbagliato il ragionamento che ho fatto per risolvere l'esercizio? 
tranqui, fu^2
tutto bene, e la luna splende serena
vediamo di ricapitolare:
la funzione data non è definita in $e^m$
non essendo definita in quel punto non può certo essere continua
ci si può però domandare se si possa trovare un numero reale $b$ tale che, assegnando il valore $b$ alla funzione nel punto $e^m$, la nuova funzione che si ottiene risulti continua (se si può, si parla di "discontinuità eliminabile" o di "funzione prolungabile per continuità", a seconda del dialetto in uso)
essendo il limite infinito, non è possibile
insomma, avevi fatto bene
tutto bene, e la luna splende serena
vediamo di ricapitolare:
la funzione data non è definita in $e^m$
non essendo definita in quel punto non può certo essere continua
ci si può però domandare se si possa trovare un numero reale $b$ tale che, assegnando il valore $b$ alla funzione nel punto $e^m$, la nuova funzione che si ottiene risulti continua (se si può, si parla di "discontinuità eliminabile" o di "funzione prolungabile per continuità", a seconda del dialetto in uso)
essendo il limite infinito, non è possibile
insomma, avevi fatto bene
a ok 
ma se si può trovare un numero reale $b$ tale che, assegnando il valore $b$ alla funzione nel punto $e^m$, la nuova funzione che si ottiene risulti continua, vuol dire che è una discontinuità di terza specie, ovvero che il limite destro e sinistro della funzione che tende a quel punto sono uguali, giusto vero?
non è il caso di questa funzione xò
ma se si può trovare un numero reale $b$ tale che, assegnando il valore $b$ alla funzione nel punto $e^m$, la nuova funzione che si ottiene risulti continua, vuol dire che è una discontinuità di terza specie, ovvero che il limite destro e sinistro della funzione che tende a quel punto sono uguali, giusto vero?non è il caso di questa funzione xò
"fu^2":
se si può trovare un numero reale $b$ tale che, assegnando il valore $b$ alla funzione nel punto $e^m$, la nuova funzione che si ottiene risulti continua, vuol dire che è una discontinuità di terza specie, ovvero che il limite destro e sinistro della funzione che tende a quel punto sono uguali, giusto vero?
giusto
aggiungo una mia personale opinione:
la nomenclatura "linneana", che distingue ben tre specie di discontinuità, non serve a niente
è semplicemente un rito tipico della liturgia delle scuole secondarie
poi la si dimentica
"Fioravante Patrone":
[quote="fu^2"]se si può trovare un numero reale $b$ tale che, assegnando il valore $b$ alla funzione nel punto $e^m$, la nuova funzione che si ottiene risulti continua, vuol dire che è una discontinuità di terza specie, ovvero che il limite destro e sinistro della funzione che tende a quel punto sono uguali, giusto vero?
giusto
aggiungo una mia personale opinione:
la nomenclatura "linneana", che distingue ben tre specie di discontinuità, non serve a niente
è semplicemente un rito tipico della liturgia delle scuole secondarie
poi la si dimentica[/quote]
Infatti.. Comunque anche a me hanno insegnato la stessa cosa che diceva kroldar, e all'inizio mi ha lasciato un po' spiazzato...
Dust, probabilmente avrai letto l'Osservazione
fatta sul libro della Dal Passo:
"Non (il non è scritto in corsivo) si può dire che
$x=0$ è un punto di discontinuità per $f(x)=1/x$,
infatti $x=0$ non fa parte del dominio!"... O una cosa simile...
fatta sul libro della Dal Passo:
"Non (il non è scritto in corsivo) si può dire che
$x=0$ è un punto di discontinuità per $f(x)=1/x$,
infatti $x=0$ non fa parte del dominio!"... O una cosa simile...
non confondiamo le forma con la sostanza
in matematica, che è solo forma, la sostanza è quello che conta davvero
la forma è semplicemente un dittatore inflessibile al servizio della sostanza
è ovvio che la funzione 1/x non è definita in 0 e quindi non ha neanche senso chiedersi se sia continua in 0
detto questo, cerchiamo di vedere le cose in una prospettiva un po' più ampia
non è possibile prolungare la funzione data in alcun modo, per poter ottenere una funzione continua in 0
quindi, avendo presente questo, se uno mi dice che 1/x è discontinua in zero, non mi viene una crisi isterica
rinvio al mio post:
https://www.matematicamente.it/f/viewtop ... 9547#79547
per qualche considerazione in più
in matematica, che è solo forma, la sostanza è quello che conta davvero
la forma è semplicemente un dittatore inflessibile al servizio della sostanza
è ovvio che la funzione 1/x non è definita in 0 e quindi non ha neanche senso chiedersi se sia continua in 0
detto questo, cerchiamo di vedere le cose in una prospettiva un po' più ampia
non è possibile prolungare la funzione data in alcun modo, per poter ottenere una funzione continua in 0
quindi, avendo presente questo, se uno mi dice che 1/x è discontinua in zero, non mi viene una crisi isterica
rinvio al mio post:
https://www.matematicamente.it/f/viewtop ... 9547#79547
per qualche considerazione in più
Se ho f(x)=1/x, posso dire che per x che tende a zero, la funzione tende all'infinito.
Questo è tutto, penso.
Arrivederci
Questo è tutto, penso.
Arrivederci
"pigreco":
Se ho f(x)=1/x, posso dire che per x che tende a zero, la funzione tende all'infinito.
Questo è tutto, penso.
Arrivederci
Ecco, mi dai l'occasione di sollevare un punto che mi sembra controverso.
Ritengo che la posizione corretta sia : tale limite non esiste in quanto se tendo a 0 da destra ($0^+)$ il limite è $+oo$, mentre se ci tendo da sinistra ($0^- $) il limite è $ -oo$.
Quindi essendo i due valori diversi il limite non esiste.
Qualche autore, però [Dodero/Baroncini/Toscani -Corso di analisi per i liocei scientifici ] dice :
$lim_(x rarr 0 ) 1/x = oo $ e giustifica la cosa in questo modo secondo la definizione di limite :
Fissato M > 0 (a piacere) e osservato che deve essere $ x ne 0 $ risolve le disequazione :
$|1/x| > M rarr |x| < 1/M rarr -1/M
N.B. naturalemnte la definizione che dà di limite infinito per x che tende a un valore finito è congruente con l'esempio fatto sopra e più precisamente è la seguente:
Si dice che per x che tende a c la funzione $y = f(x) $ ha per limite infinito e si scrive
$lim_(x rarr c ) f(x) = oo $
se, fissato un numero positivo M, arbitrariamente grande , si può determinare in corrispondenza ad esso, un intorno completo di c tale che , per ogni x di tale intorno , escluso al più $ x = c $ si abbia :
$ |f(x) | > M $.
Attendo commenti/critiche e quant'altro....
Posso darti il mio pensiero:
siccome su tutti i libri è precisato il teorema di unicità del limite e il fatto che: $lim_(x->x_0)f(x)=l <- > lim_(x->x_0+)f(x)= lim_(x->x_0-)f(x)=l $ (ovviamente supponendo che la funzione sia definita in tutto un intorno di $x_0$):
sono dell'avviso che quando abbiamo $lim_(x->0)1/x$ la risposta debba essere non esiste. Infatti dire che è uguale a $oo$ non ha senso perchè sarebbe la stessa cosa che dire che un certo limite fa più o meno 3.
Più in generale quando si risolve un limite e viene fuori una forma del tipo $ 5/0 $ o più in generale un numero fratto 0 bisogna sempre chiedersi se il denominatore , al tendere di x al punto di accumulazione,tende a zero + oppure a zero - , in modo da poter dare anche un segno all'infinito del risultato del limite. Comunque credo che il 99,99999% di chi ha studiato i limiti la pensi così,e aggiungo meno male!
siccome su tutti i libri è precisato il teorema di unicità del limite e il fatto che: $lim_(x->x_0)f(x)=l <- > lim_(x->x_0+)f(x)= lim_(x->x_0-)f(x)=l $ (ovviamente supponendo che la funzione sia definita in tutto un intorno di $x_0$):
sono dell'avviso che quando abbiamo $lim_(x->0)1/x$ la risposta debba essere non esiste. Infatti dire che è uguale a $oo$ non ha senso perchè sarebbe la stessa cosa che dire che un certo limite fa più o meno 3.
Più in generale quando si risolve un limite e viene fuori una forma del tipo $ 5/0 $ o più in generale un numero fratto 0 bisogna sempre chiedersi se il denominatore , al tendere di x al punto di accumulazione,tende a zero + oppure a zero - , in modo da poter dare anche un segno all'infinito del risultato del limite. Comunque credo che il 99,99999% di chi ha studiato i limiti la pensi così,e aggiungo meno male!
Il limite $lim_(x->0) 1/x$ non esiste se si considera
la seguente estensione di $RR$ (come si è soliti fare): $RR^**=RRuu{+oo,-oo}$.
Infatti, esistono i limiti destro e sinistro, ma sono
diversi tra di loro ($+oo$ e $-oo$ rispettivamente). Quello che uno potrebbe fare
è definire una nuova estensione di $RR$: $dot(RR)=RRuu{oo}$
dove $oo$ denota un "punto" che si trova a distanza
infinita dall'origine, allora forse si potrebbe pure dire che $lim_(x->0) 1/x = oo$...
la seguente estensione di $RR$ (come si è soliti fare): $RR^**=RRuu{+oo,-oo}$.
Infatti, esistono i limiti destro e sinistro, ma sono
diversi tra di loro ($+oo$ e $-oo$ rispettivamente). Quello che uno potrebbe fare
è definire una nuova estensione di $RR$: $dot(RR)=RRuu{oo}$
dove $oo$ denota un "punto" che si trova a distanza
infinita dall'origine, allora forse si potrebbe pure dire che $lim_(x->0) 1/x = oo$...
carina la risposta "bourbakiana" di fireball
provo a dire la mia
nessun dubbio sul fatto che la definizione di limite $oo$ ("$oo$ senza segno" come a volte si dice anche) che Camillo riporta sia una definizione coerente
la domanda è se abbia senso dire che si sta definendo un limite o invece una proprietà matematica che sarebbe meglio chiamare in altro modo (pseudo-limite potrebbe essere un suggerimento da non scartare frettolosamente)
la risposta non è netta. In mate spesso capita, solo chi non è abituato alla mate può pensare che vi siano sempre e solo confini netti
il limite $oo$ ha certamente caratteristiche anomale, rispetto agli altri
ad esempio, non vale l'unicità del limite: il limite può essere (ad esempio) sia $oo$ che $+oo$. Notare che se si dice con precisione che si sta lavorando nella retta reale estesa cui si aggiunge solo $oo$, ovvero la seconda estensione descritta da fireball, quanto ho appena detto è falso; io mi riferisco alle trattazioni normali, elementari ed introduttive dei limiti.
d'altro canto, la definzione (ricordata da Camillo) ha la struttura tipica della definzione di limite e quindi sarebbe poco elegante cacciarlo fuori dal regno dei limiti
che fare, quindi? Io a lezione di analisi lo introducevo, e cercavo di mettere in evidenza (ma sia chiaro, sto parlando di insegnamento universitario) che va usato con le dovute cautele. Non mi stupisce che vi possano essere delle prese di posizione di segno opposto.
In conclusione, la mia risposta a Camillo è che questo atteggiemento non univoco dei libri (e dei prof) su $oo$ sta, a mio parere, nelle ambiguità intrinseche di questo concetto, di cui ho sopra fornito un paio di esempi
ciao
provo a dire la mia
nessun dubbio sul fatto che la definizione di limite $oo$ ("$oo$ senza segno" come a volte si dice anche) che Camillo riporta sia una definizione coerente
la domanda è se abbia senso dire che si sta definendo un limite o invece una proprietà matematica che sarebbe meglio chiamare in altro modo (pseudo-limite potrebbe essere un suggerimento da non scartare frettolosamente)
la risposta non è netta. In mate spesso capita, solo chi non è abituato alla mate può pensare che vi siano sempre e solo confini netti
il limite $oo$ ha certamente caratteristiche anomale, rispetto agli altri
ad esempio, non vale l'unicità del limite: il limite può essere (ad esempio) sia $oo$ che $+oo$. Notare che se si dice con precisione che si sta lavorando nella retta reale estesa cui si aggiunge solo $oo$, ovvero la seconda estensione descritta da fireball, quanto ho appena detto è falso; io mi riferisco alle trattazioni normali, elementari ed introduttive dei limiti.
d'altro canto, la definzione (ricordata da Camillo) ha la struttura tipica della definzione di limite e quindi sarebbe poco elegante cacciarlo fuori dal regno dei limiti
che fare, quindi? Io a lezione di analisi lo introducevo, e cercavo di mettere in evidenza (ma sia chiaro, sto parlando di insegnamento universitario) che va usato con le dovute cautele. Non mi stupisce che vi possano essere delle prese di posizione di segno opposto.
In conclusione, la mia risposta a Camillo è che questo atteggiemento non univoco dei libri (e dei prof) su $oo$ sta, a mio parere, nelle ambiguità intrinseche di questo concetto, di cui ho sopra fornito un paio di esempi
ciao
"Fioravante Patrone":
carina la risposta "bourbakiana" di fireball
So solo che la scuola di Bourbaki era una famosa scuola di eccellenza
di Matematica dei primi anni del 1900 (MI PARE...)... Ma perché è una risposta bourbakiana?
@fireball
sulla "scuola" di Bourbaki trovi (si trova), naturalmente, molta info in rete e sui libri
ad esempio, cenni brevissimi sono qui:
http://matematica.uni-bocconi.it/interv ... urbaki.htm
perché bourbakiana?
nel bene e nel male
nel bene, perché la tua risposta mostra che la risposta che si dà alla domanda dipende dalla struttura matematica sottostante. E questa è matematica di gran qualità
nel male, perché si tratta di una risposta formale, da sistematizzatore ex post (validissimo sistematizzatore! ma pur sempre ex-post)
ciao
sulla "scuola" di Bourbaki trovi (si trova), naturalmente, molta info in rete e sui libri
ad esempio, cenni brevissimi sono qui:
http://matematica.uni-bocconi.it/interv ... urbaki.htm
perché bourbakiana?
nel bene e nel male
nel bene, perché la tua risposta mostra che la risposta che si dà alla domanda dipende dalla struttura matematica sottostante. E questa è matematica di gran qualità
nel male, perché si tratta di una risposta formale, da sistematizzatore ex post (validissimo sistematizzatore! ma pur sempre ex-post)
ciao
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