Discontinuità
Ho alcuni dubbi sul capire i tipi di discontinuità..in verità il problema è uno solo:Non ho ben capito la discontinuità di terza specie e soprattutto non ho capito perchè è eliminabile..Sapreste spiegarmelo magari con qualche esempio?
Risposte
dai miei ricordi un po' offuscati riemerge cio' (quindi non lo prendere come oro colato):
c'e' discontinuita' eliminabile quando il limite da destra e il limite da sinistra esistono e sono uguali (per esempio valgono entrambi L), mentre il valore della funzione nel punto e' pari ad esempio a M ed e' diverso da L.
in pratica, se pensi al grafico di una funzione, in questo tipo di discontinuita' e' come se avessi una funzione del tutto continua, ad eccezione che nel punto di discontinuita' la funzione ha un buco, ed il suo valre effettivo si trova ad un'altra "quota" (ci vorrebbe un disegnino).
se qlkosa non e' chiaro chiedimi pure altre spiegazioni
ciao
alex
c'e' discontinuita' eliminabile quando il limite da destra e il limite da sinistra esistono e sono uguali (per esempio valgono entrambi L), mentre il valore della funzione nel punto e' pari ad esempio a M ed e' diverso da L.
in pratica, se pensi al grafico di una funzione, in questo tipo di discontinuita' e' come se avessi una funzione del tutto continua, ad eccezione che nel punto di discontinuita' la funzione ha un buco, ed il suo valre effettivo si trova ad un'altra "quota" (ci vorrebbe un disegnino).
se qlkosa non e' chiaro chiedimi pure altre spiegazioni
ciao
alex
mhh ho capito.. 
Ma potresti farmi un esempio semplice descrivendomi i passaggi? cosi elimino del tutto il problema ..
Ma potresti farmi un esempio semplice descrivendomi i passaggi? cosi elimino del tutto il problema ..
Rientra nella discontinuità di terza specie anche il caso in cui la funzione non sia definita in quel punto, perchè ad es.si annulla a denominatore. Cmq in ogni caso per eliminare la discontinuità (essendo questa la caratteristica della terza specie) attribuisco alla funzione il valoredel limite. Per questo è cmq necessario che il limite esista e sia finito, anche perchè diversamente rientrerebbe nei primi due casi di discontinuità che nn sono eliminabili.
Praticamente è qualcosa di molto simile alla prima soluzione che avevo dato al mio quesito sul dominio di una funzione reale di due variabili reali.
Ciao
Praticamente è qualcosa di molto simile alla prima soluzione che avevo dato al mio quesito sul dominio di una funzione reale di due variabili reali.
Ciao
un esempio stupido e' questo:
f(x)=1 per ogni x diverso da 0
f(x)=0 per x=0
f(x)=1 per ogni x diverso da 0
f(x)=0 per x=0
un esempio stupido e' questo:
f(x)=1 per ogni x diverso da 0
f(x)=0 per x=0
si elimina la discontinuita', come diceva stepper mi pare, definendo la funzione f(x)=1 anche per x=0
quindi la funzione modificata e continua e':
f(x)=1 per ogni x
f(x)=1 per ogni x diverso da 0
f(x)=0 per x=0
si elimina la discontinuita', come diceva stepper mi pare, definendo la funzione f(x)=1 anche per x=0
quindi la funzione modificata e continua e':
f(x)=1 per ogni x
Vi faccio notare la perplessità:
$y=(x^2-5x+6)/(x-2)=((x-3)(x-2))/(x-2)=x-3$
il dominio è ovviamente per ogni x diverso da 2
calcolo il limite nel punto in cui la funzione perde di significato:
$lim_(x->2^(+-))(f(x))=0/0.$
$lim_(x->2^(+-))((x-3)(x-2))/(x-2)=x-3=-1^(+-).$
ora fatemi notare perchè si tratta di una discontinuità di 3^ specie...
$y=(x^2-5x+6)/(x-2)=((x-3)(x-2))/(x-2)=x-3$
il dominio è ovviamente per ogni x diverso da 2
calcolo il limite nel punto in cui la funzione perde di significato:
$lim_(x->2^(+-))(f(x))=0/0.$
$lim_(x->2^(+-))((x-3)(x-2))/(x-2)=x-3=-1^(+-).$
ora fatemi notare perchè si tratta di una discontinuità di 3^ specie...
la discontinuita' 'eliminabile' c'e' perche':
1)i lim dx e sx esistono finiti e sono uguali;
2) il valore della funzione nel punto incriminato e' diverso dal valore dei suddetti limiti oppure la funzione nel punto incriminato non e' definita (questa seconda evenienza non me la ricordavo ma se stepper lo dice diamola per acquisita);
si dice eliminabile non perche' non ci sia la discontinuita', ma solo perche' basta cambiare la funzione in un solo punto per ottenere una nuova funzione (diversa dalla prima solo in quel punto ) a questo punto continua (sempre in quel punto).
in questo caso la nuova funzione e':
y=x-3
1)i lim dx e sx esistono finiti e sono uguali;
2) il valore della funzione nel punto incriminato e' diverso dal valore dei suddetti limiti oppure la funzione nel punto incriminato non e' definita (questa seconda evenienza non me la ricordavo ma se stepper lo dice diamola per acquisita);
si dice eliminabile non perche' non ci sia la discontinuita', ma solo perche' basta cambiare la funzione in un solo punto per ottenere una nuova funzione (diversa dalla prima solo in quel punto ) a questo punto continua (sempre in quel punto).
in questo caso la nuova funzione e':
y=x-3
Se ho inteso correttamente la nuova funzione sarà
y=f(x): x-3 per x≠2; -1 per x=2.
La funzione così nn solo è definita in tutto il campo reale, mentre prima si escludeva x=2, ma anche è continua.
Se avessi posto ad es. y=1 per x=2 non avrei eliminato la discontinuità.
La definizione di continuità di una funzione in un punto consiste infatti nell'avere lo stesso valore sia la funzione che il limite in quel punto.
y=f(x): x-3 per x≠2; -1 per x=2.
La funzione così nn solo è definita in tutto il campo reale, mentre prima si escludeva x=2, ma anche è continua.
Se avessi posto ad es. y=1 per x=2 non avrei eliminato la discontinuità.
La definizione di continuità di una funzione in un punto consiste infatti nell'avere lo stesso valore sia la funzione che il limite in quel punto.
sì, giustissimo
puoi anche definirla come f(x) = x - 3 per ogni x reale
tieni presente che è una nuova funzione (per quanto parente stretta di quella data) e quindi non c'è bisogno di definirla "a pezzi"
puoi anche definirla come f(x) = x - 3 per ogni x reale
tieni presente che è una nuova funzione (per quanto parente stretta di quella data) e quindi non c'è bisogno di definirla "a pezzi"
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