Dire se f è iniettiva

[jitter1]

Un esercizio mi chiede se è iniettiva la funzione:

f: $N \to Q^+$

$f(n)=n/(n+1)$

Se $f(n)=f(m)$ implica $n = m$, allora f iniettiva. Io l'avrei verificato semplicemente così:

(*) $n/(n+1) = m/(m + 1)$

$nm + n = mn + m$, da cui $m = n$

(**) Ma la soluzione proposta dal testo è:

$n(m + 1) = (n + 1)m$, da cui $n$ divide $m$ e $m$ divide $n$. Perciò n = m.

Siccome la soluzione (*) è più immediata, ci sarà una ragione per cui hanno proposto la (**): qual è? C'è qualcosa che non va nella (*)?

[@melia]

Nella prima dimostrazione non c'è niente che non va, ma è stato usato il secondo principio di equivalenza
moltiplicando o dividendo entrambi i membri di un'uguaglianza per uno stesso termine, diverso da zero, si ottiene un'uguaglianza equivalente a quella data
e il principio di cancellazione
$a+c=b+c =>a=b$

Forse sul testo non sono ancora stati introdotti e, quindi, l'autore non li vuole usare.

[jitter1]

"@melia": Forse sul testo non sono ancora stati introdotti e, quindi, l'autore non li vuole usare.

Grazie Amelia. Era un quesito proposto in una prova intermedia di algebra 1: può essere che a quel punto del programma il prof non avesse ancora trattato la legge di cancellazione, anche se mi sembra strano perché nello stesso compito ci cono esercizi che la richiedono (mi pare).

[theras]

@Jitter.
Forse è solo che in quel corso l'insegnante ha introdotto il concetto di funzione dopo quello di relazione
(il I°può esser infatti definito come sottocaso dell'altro),
ed in quest'ultimo ha trattato la distinzione tra quelle d'equivalenza e quelle d'ordine parziale
(quale la divisibilità,sebbene non sia totale..):
magari gli faceva comodo didatticamente quel procedimento,
per far prendere confidenza agli allievi su quegli argomenti a partire da casi "semplici" le cui conclusioni possono esser tratte,e confrontate,attraverso procedimenti più elementari .
Saluti dal web.