Dimostrazioni per ricorsione
Buon pomeriggio!!!
Un esercizio di algebra mi dice di dimostrare questa uguaglianza: $(1-1/2)(1-1/3) ... (1-1/(n+1))=1/(n+1)$.
Allora, uso il principio di induzione.
Per prima cosa è necessario che l'uguaglianza sia verificata per $n=1$.
$1-1/2=1/2$, e stiamo apposto.
Ora, posta l'uguaglianza iniziale come vera (ipotesi induttiva) per un numero naturale $n>1$, bisogna dimostrare che lo è anche per $n+1$, cioè che è:
$(1-1/2)(1-1/3) ... (1-1/(n+2))=1/(n+2)$.
Moltiplico entrambi i membri dell'ipotesi induttiva per $(1-1/(n+2))$, e diventa: $(1-1/2)(1-1/3) ... (1-1/(n+1))(1-1/(n+2))=(1/(n+1))(1-1/(n+2))$.
E svolgo i calcoli necessari: $(1-1/2)(1-1/3) ... (1-1/(n+2)-1/(n+1)+1/((n+1)(n+2)))=1/(n+1)-1/((n+1)(n+2))$
Cioè: $(1-1/2)(1-1/3) ... ((n(n+1))/((n+1)(n+2)))=1/(n+2) rArr (1-1/2)(1-1/3) ... (1-n/(n+2))=1/(n+2)$. Che non è giusto. Dove ho sbagliato?
Un esercizio di algebra mi dice di dimostrare questa uguaglianza: $(1-1/2)(1-1/3) ... (1-1/(n+1))=1/(n+1)$.
Allora, uso il principio di induzione.
Per prima cosa è necessario che l'uguaglianza sia verificata per $n=1$.
$1-1/2=1/2$, e stiamo apposto.
Ora, posta l'uguaglianza iniziale come vera (ipotesi induttiva) per un numero naturale $n>1$, bisogna dimostrare che lo è anche per $n+1$, cioè che è:
$(1-1/2)(1-1/3) ... (1-1/(n+2))=1/(n+2)$.
Moltiplico entrambi i membri dell'ipotesi induttiva per $(1-1/(n+2))$, e diventa: $(1-1/2)(1-1/3) ... (1-1/(n+1))(1-1/(n+2))=(1/(n+1))(1-1/(n+2))$.
E svolgo i calcoli necessari: $(1-1/2)(1-1/3) ... (1-1/(n+2)-1/(n+1)+1/((n+1)(n+2)))=1/(n+1)-1/((n+1)(n+2))$
Cioè: $(1-1/2)(1-1/3) ... ((n(n+1))/((n+1)(n+2)))=1/(n+2) rArr (1-1/2)(1-1/3) ... (1-n/(n+2))=1/(n+2)$. Che non è giusto. Dove ho sbagliato?

Risposte
Perché hai toccato il primo membro che è già a posto? Il secondo membro poi è giusto.
Aaah, è vero. La successione stava semplicemente andando avanti al primo membro.
Prima non capivo perché bisognasse moltiplicare, andavo a macchinetta. Perfetto, grazie, questo tuo messaggio, @melia, mi ha illuminato, mi hai chiarito un sacco di cose!
Prima non capivo perché bisognasse moltiplicare, andavo a macchinetta. Perfetto, grazie, questo tuo messaggio, @melia, mi ha illuminato, mi hai chiarito un sacco di cose!
Mi fa piacere, ciao.
Una domanda che non c'entra molto con le successioni, ma mi serve per un esercizio: come si scompone in fattori primi $2n^3+9n^2+13n+6$, Ruffini con $c=-2$, vero?
"Tacito":
Una domanda che non c'entra molto con le successioni, ma mi serve per un esercizio: come si scompone in fattori primi $2n^2+9n^2+13n+6$, Ruffini?
Direi di sì.. devi trovare una radice del polinomio, in questo caso -1 dovrebbe andar bene

Perfetto, grazie.Ho quest'uguaglianza: $1+2q+3q^2+4q^3+...+nq^(n-1)=(1-(n+1)q^n+nq^(n+1))/(1-q)^2$
Per iniziare a dimostrarla per ricorsione, ho bisogno di verificare l'uguaglianza sostituendo $n$ col naturale più piccolo che possa andare, in genere 0. Ma in questo caso, va bene 0 o devo partire da 1? o 2?
Per iniziare a dimostrarla per ricorsione, ho bisogno di verificare l'uguaglianza sostituendo $n$ col naturale più piccolo che possa andare, in genere 0. Ma in questo caso, va bene 0 o devo partire da 1? o 2?
Up!
Devi partire da 1, non puoi mettere 0 nel primo membro in quanto le potenze di q si devono fermare alla $n-1$esima
Ok ho capito, grazie.
E se io avessi questa: $(x^(2^0))/(1-x^(2^(0+1)))+(x^(2^1))/(1-x^(2^(1+1)))+(x^(2^2))/(1-x^(2^(2+1)))+ ... +(x^(2^n))/(1-x^(2^(n+1)))=1/(1-x)-1/(1-x^(2^(n+1)))$,
dovrei iniziare semplicemente da $n=0$, confermi?
nono un attimo che sistemo le formule
Perfetto, ora va bene!
E se io avessi questa: $(x^(2^0))/(1-x^(2^(0+1)))+(x^(2^1))/(1-x^(2^(1+1)))+(x^(2^2))/(1-x^(2^(2+1)))+ ... +(x^(2^n))/(1-x^(2^(n+1)))=1/(1-x)-1/(1-x^(2^(n+1)))$,
dovrei iniziare semplicemente da $n=0$, confermi?
nono un attimo che sistemo le formule
Perfetto, ora va bene!
Confermo
Ok, grazie. ora ho fatto quest'esercizio, in cui devo dimostrare che:
$1/(2!) + 2/(3!) + 3/(4!) + ... + n/((n+1)!)=1-1/((n+1)!)$, con $n>=1$, così dicono gli autori del testo. (domanda, in teoria, col fattoriale, sarei potuto partire anche da $n=0$, no?)
Verifico che vale per $n=1$: $1/(2!)=1-1/(2!)$, bon.
IPOTESI INDUTTIVA: si pone vera la prima eguaglianza.
Detto questo, si deve verificare che l'uguaglianza è vera anche per $n+1$, cioè che è $1/(2!) + 2/(3!) + 3/(4!) + ... + (n+1)/((n+2)!)=1-1/((n+2)!)$. Ci siamo?
Aggiungo alla prima, $(n+1)/((n+2)!)$ e ottengo $1/(2!) + 2/(3!) + 3/(4!) + ... +n/((n+1)!)+(n+1)/((n+2)!)=1-1/((n+1)!)+1/((n+2)!)$.
Il primo membro è apposto e lo lasciamo stare, perché la successione sta continuando tranquilla. Al secondo membro facciamo un po' di calcoli
$1-1/((n+1)!)+1/((n+2)!)=1-1/(n!(n+1))+(n+1)/(n!(n+2)(n+1))=1-1/(n!(n+1))+1/((n+2)n!)=$
$=(-(n+1)n!+(n+1)n!)/(n!(n+1)(n+2))+1=(n!(n+1-n-2))/(n!(n+1)(n+2))=-1/((n+2)(n+1))$.
Che non mi sembra sia il risultato che mi aspettavo. Dove ho sbagliato?
$1/(2!) + 2/(3!) + 3/(4!) + ... + n/((n+1)!)=1-1/((n+1)!)$, con $n>=1$, così dicono gli autori del testo. (domanda, in teoria, col fattoriale, sarei potuto partire anche da $n=0$, no?)
Verifico che vale per $n=1$: $1/(2!)=1-1/(2!)$, bon.
IPOTESI INDUTTIVA: si pone vera la prima eguaglianza.
Detto questo, si deve verificare che l'uguaglianza è vera anche per $n+1$, cioè che è $1/(2!) + 2/(3!) + 3/(4!) + ... + (n+1)/((n+2)!)=1-1/((n+2)!)$. Ci siamo?
Aggiungo alla prima, $(n+1)/((n+2)!)$ e ottengo $1/(2!) + 2/(3!) + 3/(4!) + ... +n/((n+1)!)+(n+1)/((n+2)!)=1-1/((n+1)!)+1/((n+2)!)$.
Il primo membro è apposto e lo lasciamo stare, perché la successione sta continuando tranquilla. Al secondo membro facciamo un po' di calcoli
$1-1/((n+1)!)+1/((n+2)!)=1-1/(n!(n+1))+(n+1)/(n!(n+2)(n+1))=1-1/(n!(n+1))+1/((n+2)n!)=$
$=(-(n+1)n!+(n+1)n!)/(n!(n+1)(n+2))+1=(n!(n+1-n-2))/(n!(n+1)(n+2))=-1/((n+2)(n+1))$.
Che non mi sembra sia il risultato che mi aspettavo. Dove ho sbagliato?
L'uguaglianza che hai proposto nel primo post la puoi provare anche senza ricorrere al principio di induzione... potrebbe essere utile provarci. Suggerimento: in ogni parentesi esegui il minimo comune multiplo...
Eh lo so, è una cosa interessante. Però questi esercizi mi chiedono di risolverlo per ricorsione

Nessuno è in grado di aiutarmi?
Parto da $1-1/((n+1)!)+1/((n+2)!)$ ricordo che $(n+2)!=(n+2)*(n+1)!$, quindi il denominatore comune è $(n+2)!$
$1-1/((n+1)!)+1/((n+2)!)=1+ (-(n+2)+n+1)/((n+2)!)=1+(-n-2+n+1)/((n+2)!)=1- 1/((n+2)!)$ fatto.
Nei tuoi calcoli sembravi il mio nipotino quando non ha fame, manda il cibo da una parte all'altra della bocca e non lo inghiotte, così tu con i calcoli, ti porti avanti e indietro i fattori, senza concludere la somma.
$1-1/((n+1)!)+1/((n+2)!)=1+ (-(n+2)+n+1)/((n+2)!)=1+(-n-2+n+1)/((n+2)!)=1- 1/((n+2)!)$ fatto.
Nei tuoi calcoli sembravi il mio nipotino quando non ha fame, manda il cibo da una parte all'altra della bocca e non lo inghiotte, così tu con i calcoli, ti porti avanti e indietro i fattori, senza concludere la somma.
Ok, ho capito. Grazie @melia!
Prego