Dimostrazioni matematica punti notevoli

[giuls2704]

Dato un triangolo, il triangolo ottenuto congiungendo i punti medi dei lati ha lo stesso baricentro del triangolo dato e come ortocentro il suo circocentro.

[carlogiannini]

Il baricentro è il punto di incontro delle tre mediane. Nel triangolo ABC unire i punti medi dei lati e disegnare le mediane è la stessa cosa. Guardiamo cosa succede nel triangolo MNO. la retta MN è parallela a AB per il teorema di Talete in quanto le rette MN e AB staccano sulle trasversali CA e CB segmenti corrispondeti uguali (CM=MA implica CN=NB). Quindi anche i triangoli MCP e ACO sono simili e siccome CM è la metà di CA, allora anche MP sarà la metà di AO. Analogamente PN è la metà di OB. Ma AO=OB quindi MP=PN. Ripetendo lo stesso ragionamento per gli altri lati dimostriamo che M, N, O sono i punti medi dei tre lati quindi P è il punto di incontro delle tre mediane del triangolo MNO.
CVD (lungo ma abbastanza intuibile, spero)

Aggiunto 10 minuti più tardi:

Come vedi dalla figura l'asse del lato AB è anche l'altezza del triangolo MON perché le rette MN e AB sono parallele e ogni perpendicolare ad una delle due è perpendicolare anche all'altra. Quindi gli assi dei tre lati del triangolo grande coincidono con le altezze del triangolo piccolo