Dimostrazioni di geometria
Equivalenza delle superfici piane.
1) Dimostrare che una mediana di un triangolo lo divide in due triangoli equivalenti.
2) Congiungendo un punto di un lato di un triangolo con i punti medi degli altri due, si forma un quadrilatero equivalente a metà triangolo.
Non riesco a farle, perchè non le capisco. Vorrei un vostro aiuto e se avete tempo di spiegarmi come si risolvono le dimostrazioni una volta per tutte, perchè io i teoremi li studio, ma non li so applicare.
1) Dimostrare che una mediana di un triangolo lo divide in due triangoli equivalenti.
2) Congiungendo un punto di un lato di un triangolo con i punti medi degli altri due, si forma un quadrilatero equivalente a metà triangolo.
Non riesco a farle, perchè non le capisco. Vorrei un vostro aiuto e se avete tempo di spiegarmi come si risolvono le dimostrazioni una volta per tutte, perchè io i teoremi li studio, ma non li so applicare.
Risposte
prova ad utilizzare il teorema : " due triangoli aventi base ed altezza ad essa relativa congruenti sono equivalenti"
nel primo caso la dimostrazione è immediata, nel secondo sono un po' perplessa per quanto riguarda il testo : il primo è un punto qualunque o è anch'esso il punto medio?(se il punto varia e gli altri due restano fissi, il quadrilatero varia)
per quanto poi riguarda il riuscire a fare le dimostrazioni , non si possono dare regole fisse (a parte le solite : far bene la figura, capire cosa si vuole dimostrare e cercare di utilizzare tutto ciò che si conosce per arrivare alla tesi)
posso solo dirti che, come in tutte le cose, ci vuole un po' d'esercizio, per abituare la mente a quel modo di ragionare (e comunque non è detto che si riescano sempre a fare subito le dimostrazioni, in quanto la difficoltà varia)
nel primo caso la dimostrazione è immediata, nel secondo sono un po' perplessa per quanto riguarda il testo : il primo è un punto qualunque o è anch'esso il punto medio?(se il punto varia e gli altri due restano fissi, il quadrilatero varia)
per quanto poi riguarda il riuscire a fare le dimostrazioni , non si possono dare regole fisse (a parte le solite : far bene la figura, capire cosa si vuole dimostrare e cercare di utilizzare tutto ciò che si conosce per arrivare alla tesi)
posso solo dirti che, come in tutte le cose, ci vuole un po' d'esercizio, per abituare la mente a quel modo di ragionare (e comunque non è detto che si riescano sempre a fare subito le dimostrazioni, in quanto la difficoltà varia)
"Nicole93":
...nel secondo sono un po' perplessa per quanto riguarda il testo : il primo è un punto qualunque o è anch'esso il punto medio?(se il punto varia e gli altri due restano fissi, il quadrilatero varia)
Sì, ma non conta.
La perplessità rimane, in quanto son d'accordo sull'equivalenza dei due triangoli, come tu hai evidenziato nella tua bella figura (a proposito, come hai fatto ad inserirla qua?) , ma non riesco comunque a capire come tutti i possibili quadrilateri possano essere equivalenti a metà triangolo (io pensavo di utilizzare il teorema "differenze di figure equivalenti sono equivalenti", ma nella parte sottostante al variare del punto vengono individuati triangoli della stessa altezza ma di basi diverse)
La figura l'ho fatta con CaRMetal, l'ho caricata su ImageShack e l'ho inserita usando il direct link fornito dal servizio di hosting dopo l'upload, ponendo il link in questione tra i tag [img]ed[/img].
Per quanto riguarda il problema:
[tex]BM_{1}M_{2}M_{3}[/tex] e [tex]CM_{2}M_{1}M_{3}[/tex] sono parallelogrammi con [tex]BM_{3}\cong M_{3}C[/tex], dunque [tex]\triangle BM_{1}M_{3} \doteq \triangle M_{3}M_{2}M_{1} \doteq \triangle M_{3}CM_2[/tex], inoltre anche [tex]M_{3}M_{2}AM_{1}[/tex] è un parallelogramma, sicché [tex]\triangle M_{3}M_{2}M_{1} \doteq \triangle M_{1}M_{2}A[/tex], ed essendo, come già osservato [tex]\triangle M_{1}M_{2}N \doteq \triangle M_{1}M_{1}M_{3}[/tex], si ha la tesi.
Per quanto riguarda il problema:
[tex]BM_{1}M_{2}M_{3}[/tex] e [tex]CM_{2}M_{1}M_{3}[/tex] sono parallelogrammi con [tex]BM_{3}\cong M_{3}C[/tex], dunque [tex]\triangle BM_{1}M_{3} \doteq \triangle M_{3}M_{2}M_{1} \doteq \triangle M_{3}CM_2[/tex], inoltre anche [tex]M_{3}M_{2}AM_{1}[/tex] è un parallelogramma, sicché [tex]\triangle M_{3}M_{2}M_{1} \doteq \triangle M_{1}M_{2}A[/tex], ed essendo, come già osservato [tex]\triangle M_{1}M_{2}N \doteq \triangle M_{1}M_{1}M_{3}[/tex], si ha la tesi.
forse sarebbe stato opportuno che nel testo venisse specificato a quale dei tre vertici si dovesse fare riferimento, poichè io consideravo i quadrilateri aventi come vertice $B$ o $C$, e non quelli di vertice $A$ !
Comunque in questo caso la dimostrazione effettivamente non è molto difficile (si potrebbe anche dimostrare che i due triangoli in cui viene scomposto il parallelogramma sono equivalenti tra loro e, utilizzando il teorema sul segmento che congiunge i punti medi di due lati, ognuno equivalente ad $1/4$ del triangolo dato)
Comunque in questo caso la dimostrazione effettivamente non è molto difficile (si potrebbe anche dimostrare che i due triangoli in cui viene scomposto il parallelogramma sono equivalenti tra loro e, utilizzando il teorema sul segmento che congiunge i punti medi di due lati, ognuno equivalente ad $1/4$ del triangolo dato)
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