Dimostrazioni di due proprietà logaritmiche.

[ilpianista1]

Ciao a tutti,
sono un nuovo iscritto.
Frequento la facoltà di ingegneria elettronica a Reggio Calabria, ma ho insertito il topic in questa sezione, perché riguarda un argomento delle superiori.

Volevo sapere come si possono dimostrare le seguenti due proprietà logaritmiche:

1) log_a^n(b^m) = m/n * log_a(b)
2) log_a(b) * log_b(a) = 1

Il buon Giuseppe Zwirner dice di dimostrarle usando le formule del cambio di base (che ha dimostrato nel paragrafo precedente), cioè:
se è noto log_a(N),
log_b(N) = log_a(N) / log_a(b)

(G. Zwirner, Esponenziali, Logaritmi, Algebra lineare (vol. 2), CEDAM, p.26.

[_Tipper]

"ilpianista":2) log_a(b) * log_b(a) = 1

Dato che $a\log b = \log b^a$, allora la relazione che hai scritto si può riscrivere come

$\log_{b} (a)^{\log_{a}(b)}$

per definizione di logaritmo si ha $a^{\log_{a}(b)} = b$, quindi l'equazione precedente diventa

$\log_b(b) = 1$, sempre per definizione di logaritmo.

EDIT: supposto $a,b>0$, $a,b \ne 1$

[_Tipper]

Per il primo puoi sfruttare la proprietà secondo cui $\log_a(b) = \frac{\log_c(b)}{\log_c(a)}$, quindi, considerando come nuova base $a$, l'espressione che hai scritto diventa

$\frac{\log_a(b^m)}{\log_a(a^n)} = \frac{m \log_a(b)}{n} = \frac{m}{n} \log_a(b)$

EDIT: supposto $a,b>0$, $a \ne 1$.

[ilpianista1]

Non ho capito come da log_a^n(b^m)
sei arrivato a log_a(b^m) / log_a(b^n)

[_Tipper]

Ho cambiato la base, ma al denominatore c'è $a^n$, non $b^n$.