Dimostrazioni derivata $x^n$ e $x^{alpha}$

[kobeilprofeta]

Perche le Dimostrazioni derivata $x^n$ e $x^{alpha}$ sono così diverse tra loro? Io pensavo che la dimostrazione della seconda implicasse anche la prima, essendo $alpha in RR$ e $n in NN$...
Invece ovunque vedo dimostrare $x^{alpha}$ attraverso $e^{alpha*ln x}$ e $x^n$ attraverso i coefficienti binomiali.

[@melia]

Certo che la dimostrazione della seconda implica la prima, solo che dimostrare la derivata di $x^n$ attraverso i binomiali può essere fatto subito, come prima dimostrazione in ambito delle derivate, mentre quella di $x^{alpha}$ richiede la conoscenza della dimostrazione della derivata di $e^x$ e quella della derivata della funzione composta.

[retrocomputer]

Credo che si faccia perché nel caso di esponente naturale si può dimostrare in modo diretto, usando la definizione di derivata. Un ottimo esercizio.

[kobeilprofeta]

Ok. Ció che pensavo. Solo che il mio dubbio era:
-la dimostro in maniera diversa la seconda perchè le nozioni che uso (derivata della funzione composta, derivata dell'esponenziale,...) discendono dalla prima
o
-la dimostro in maniera diversa solo per var vedere (per esercizio magari) che la prima si puó verificare con la definizione
?

[retrocomputer]

La seconda che hai detto è vera.

La prima... Diciamo che la dimostri sfruttando gli strumenti che hai citato (derivata dell'esponenziale e derivata della funziona composta) per guadagnare tempo, ma nulla ti vieta di rifare tutti i passaggi delle dimostrazioni di quegli strumenti nel caso particolare di $x^\alpha$ e provare direttamente anche questo caso. Ovviamente la dimostrazione sarà più lunga...

[kobeilprofeta]

Ok grazie.