Dimostrazioni
Ragazzi intanto ciao a tutti sono nuovo da queste parti e spero di trovarmi bene.
Vi ho scritto perchè avrei urgentemente e rapido bisogno che mi risolviate questi tre problemi di geometria:
1-Dato un parallelogramma ABCD , traccia la bisettrice dell'angolo BAD e sia R la sua intersezione con la retta DC . Traccia quindi la bisettrice dell'angolo BCD e sia S la sua intersezione con la retta AB. Dimostra che BD ed RS si bisecano e che 1- triangoli BRA e SCD sono congruenti.
2- Sia O il centro di un parallelogramma ABCD; dimostra che ogni retta passante per O lo divide in due trapezi congruenti.
3-Dimostra che in un trapezio isoscele gli angoli opposto sono supplementeri.
Vi ringrazio in anticipo ciao!!!
Vi ho scritto perchè avrei urgentemente e rapido bisogno che mi risolviate questi tre problemi di geometria:
1-Dato un parallelogramma ABCD , traccia la bisettrice dell'angolo BAD e sia R la sua intersezione con la retta DC . Traccia quindi la bisettrice dell'angolo BCD e sia S la sua intersezione con la retta AB. Dimostra che BD ed RS si bisecano e che 1- triangoli BRA e SCD sono congruenti.
2- Sia O il centro di un parallelogramma ABCD; dimostra che ogni retta passante per O lo divide in due trapezi congruenti.
3-Dimostra che in un trapezio isoscele gli angoli opposto sono supplementeri.
Vi ringrazio in anticipo ciao!!!
Risposte
Mi occorre sapere che scuola fai (hai indicato come eta' 35 anni!) e che argomento state trattando
scusami ma forse ho sbagliato nel mettere la data. Ho 15 anni e vado al 2° anno di liceo e sto studiando i parallelogrammi
Il primo lo risolverei cosi':
Traccia le bisettrici:
i triangoli ARD e BCS sono simili, perche' hanno l'angolo in D e quello in B congruenti (sono gli angoli opposti del parallelogramma) e l'angolo in A e quello in C anche (derivano dalle bisettrici di due angoli congruenti)
Non solo. Sono anche uguali, dal momento che hanno un lato corrispondente congruente (AD e CB sono i lati del parallelogramma)
Ora traccia RS e BD e chiama O il punto di intersezione.
Considera i triangoli DRO e BSO.
Hanno gli angoli ROD e BOS congruenti perche' opposti al vertice.
Hanno l'angolo SRA e l'angolo RSC congruenti, perche', essendo DC parallelo a BA e RS la trasversale, sono angoli alterni interni (Talete)
Quindi sono simili.
Ma dal momento che BS=RD (abbiamo detto che i triangoli DRA e BSC sono uguali, e BS e RD sono i lati corrispondenti di questi triangoli) allora RO=SO e BO=BD, e pertanto O e' il punto medio di RS e di BD
Aggiunto 3 minuti più tardi:
BRA e SCD sono congruenti perchè:
L'angolo RAB e' congruente all'angolo DCS (sono entrambi meta' di angoli congruenti (il parallelogramma ha gli angoli opposti congruenti)
Se due triangoli hanno due lati congruenti e l'angolo compreso tra questi congruenti, allora i triangoli sono congruenti.
I lati che comprendono gli angoli congruenti sono:
RA=SC (perche' prima abbiamo dimostrato che DRC e SBC sono congruenti)
BA=DC perchè lati opposti del parallelogramma
Quindi i triangoli in questione sono congruenti
Aggiunto 14 minuti più tardi:
2) Traccia una retta qualunque passante per O e chiama P e Q i punti di intersezione con i lati AB e DC
Ogni trapezio che si forma, ha:
l'angolo DAB=DCB (per definizione del parallelogramma)
l'angolo ADC=CBA per lo stesso motivo
L'angolo DPQ=BQP (per Talete (la retta PQ e' una trasversale alle parallele AB e CD)
Analogamente gli angoli APQ e CQP sempre per Talete.
I trapezi, inoltre, hanno i lati obliqui congruenti (uno lo condividono (PQ) e due sono i lati del parallelogramma (DA e CB) congruenti per definizione di parallelogramma.
Ora traccia i segmenti PC e QA.
I triangoli APQ e QPC sono uguali (come prima dimostri che AQ e CP sono parallele, ecc..
Quindi CQ=AP
e siccome DQ e PB sono i segmenti che nascono dalla differenza tra i lati del parallelogramma (congruenti) e i segmenti QC/PA (congruenti) anche DQ=PB.
Quindi i due trapezi sono congruenti perche' hanno tutti gli angoli e tutti i lati congruenti.
Aggiunto 8 minuti più tardi:
3) io lo risolverei cosi':
Chiama la base maggiore del trapezio AB e prosegui in senso orario con C e D.
Traccia CQ, la parallela ad AD.
Otterrai un parallelogramma AQCD e un triangolo QBC.
BAQ=QCB (angoli opposti di un parallelogramma)
BCQ=CQB (parallele (BC e BA) tagliate da una trasversale (CQ (angolialterni interni))
CBQ=DAC (il trapezio e' isoscele)
Considera il triangolo BQC: essendo CQB e CBQ angoli congruenti, il triangolo e' isoscele, e l'angolo BCQ sara' quindi supplementare di CQB+CBQ (perche' la somma degli angoli interni di un triangolo e' 180)
Ma siccome CQB=CBQ=QCD=DAQ, concludiamo che:
l'angolo del trapezio DCB e' = BCQ+DCQ.
La somma degli angoli opposti e' dunque BCQ+QCD+QAD che, per quanto detto sopra, da' 180 (ribadiamo che BCQ+2CQB=BCQ+QCD+QAB)
Traccia le bisettrici:
i triangoli ARD e BCS sono simili, perche' hanno l'angolo in D e quello in B congruenti (sono gli angoli opposti del parallelogramma) e l'angolo in A e quello in C anche (derivano dalle bisettrici di due angoli congruenti)
Non solo. Sono anche uguali, dal momento che hanno un lato corrispondente congruente (AD e CB sono i lati del parallelogramma)
Ora traccia RS e BD e chiama O il punto di intersezione.
Considera i triangoli DRO e BSO.
Hanno gli angoli ROD e BOS congruenti perche' opposti al vertice.
Hanno l'angolo SRA e l'angolo RSC congruenti, perche', essendo DC parallelo a BA e RS la trasversale, sono angoli alterni interni (Talete)
Quindi sono simili.
Ma dal momento che BS=RD (abbiamo detto che i triangoli DRA e BSC sono uguali, e BS e RD sono i lati corrispondenti di questi triangoli) allora RO=SO e BO=BD, e pertanto O e' il punto medio di RS e di BD
Aggiunto 3 minuti più tardi:
BRA e SCD sono congruenti perchè:
L'angolo RAB e' congruente all'angolo DCS (sono entrambi meta' di angoli congruenti (il parallelogramma ha gli angoli opposti congruenti)
Se due triangoli hanno due lati congruenti e l'angolo compreso tra questi congruenti, allora i triangoli sono congruenti.
I lati che comprendono gli angoli congruenti sono:
RA=SC (perche' prima abbiamo dimostrato che DRC e SBC sono congruenti)
BA=DC perchè lati opposti del parallelogramma
Quindi i triangoli in questione sono congruenti
Aggiunto 14 minuti più tardi:
2) Traccia una retta qualunque passante per O e chiama P e Q i punti di intersezione con i lati AB e DC
Ogni trapezio che si forma, ha:
l'angolo DAB=DCB (per definizione del parallelogramma)
l'angolo ADC=CBA per lo stesso motivo
L'angolo DPQ=BQP (per Talete (la retta PQ e' una trasversale alle parallele AB e CD)
Analogamente gli angoli APQ e CQP sempre per Talete.
I trapezi, inoltre, hanno i lati obliqui congruenti (uno lo condividono (PQ) e due sono i lati del parallelogramma (DA e CB) congruenti per definizione di parallelogramma.
Ora traccia i segmenti PC e QA.
I triangoli APQ e QPC sono uguali (come prima dimostri che AQ e CP sono parallele, ecc..
Quindi CQ=AP
e siccome DQ e PB sono i segmenti che nascono dalla differenza tra i lati del parallelogramma (congruenti) e i segmenti QC/PA (congruenti) anche DQ=PB.
Quindi i due trapezi sono congruenti perche' hanno tutti gli angoli e tutti i lati congruenti.
Aggiunto 8 minuti più tardi:
3) io lo risolverei cosi':
Chiama la base maggiore del trapezio AB e prosegui in senso orario con C e D.
Traccia CQ, la parallela ad AD.
Otterrai un parallelogramma AQCD e un triangolo QBC.
BAQ=QCB (angoli opposti di un parallelogramma)
BCQ=CQB (parallele (BC e BA) tagliate da una trasversale (CQ (angolialterni interni))
CBQ=DAC (il trapezio e' isoscele)
Considera il triangolo BQC: essendo CQB e CBQ angoli congruenti, il triangolo e' isoscele, e l'angolo BCQ sara' quindi supplementare di CQB+CBQ (perche' la somma degli angoli interni di un triangolo e' 180)
Ma siccome CQB=CBQ=QCD=DAQ, concludiamo che:
l'angolo del trapezio DCB e' = BCQ+DCQ.
La somma degli angoli opposti e' dunque BCQ+QCD+QAD che, per quanto detto sopra, da' 180 (ribadiamo che BCQ+2CQB=BCQ+QCD+QAB)
Grazie sei un genio!!!
Chiudo..
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