Dimostrazione tre criteri di congruenza dei triangoli

[DJTrevor]

Buongiorno ragazzi,
Ho un problemino con le dimsotrazioni. In particolare mi sono bloccato con questo quesito. Qualcuno saprebbe risolverlo? Vi ringrazio in anticipo, perchè domani ho la verifica :(

[anna.supermath]

Hai due modi per svolgere questa dimostrazione.
Primo
Usare il Teorema della Mediana:
in un triangolo il doppio del quadrato della mediana relativa ad un lato è uguale alla somma dei quadrati degli altri due diminuito della metà del quadrato del primo lato.
Per il triangolo ABC

[math]
2 (\bar{AM})^2 = (\bar{AC})^2 + (\bar{AB})^2 - \frac{(\bar{CB})^2}{2}
[/math]

dove M è il punto medio di

[math]
\bar{CB}.
[/math]

Per il triangolo

[math]
A_1B_1C_1
[/math]

[math]
2 (\bar{A_1M_1})^2 = (\bar{A_1C_1})^2 + (\bar{A_1B_1})^2 - \frac{(\bar{C_1B_1})^2}{2}
[/math]

dove

[math]
M_1
[/math]

è il punto medio di

[math]
\bar{C_1B_1}.
[/math]

In base alle ipotesi date dal problema, risulta

[math]
\bar{CB} = \bar{C_1B_1}
[/math]

quindi i due triangoli hanno tre lati uguali, per cui sono congruenti per il Terzo Criterio di Congruenza.

Secondo
Il triangolo ABC risulta essere la meta del parallelogramma avente lati

[math]
\bar{AB}
[/math]

e

[math]
\bar{AC}
[/math]

e per semidiagonale

[math]
\bar{AM}.
[/math]

Il lato

[math]
\bar{CB}
[/math]

risulta essere l’altra diagonale, in quanto viene tagliato nel suo punto medio da

[math]
\bar{AM}.
[/math]

Allo stesso modo si dimostra che il triangolo

[math]
A_1B_1C_1
[/math]

risulta essere la meta dello stesso parallelogramma:
stessi lati, stessa lunghezza per la semidiagonale

[math]
\bar{A_1M_1}
[/math]

che passa per il punto medio di

[math]
\bar{C_1B_1}.
[/math]

Quindi rappresentano lo stesso parallelogramma, quindi

[math]
\bar{CB} = \bar{C_1B_1}.
[/math]

Per cui i triangoli hanno tre lati uguali, quindi sono congruenti per il terzo criterio.