Dimostrazione teorema di unicità del limite

[ema0910]

In questa dimostrazione a un certo punto viene introdotto come ipotesi questo: $\epsilon<(l'-l)/2$
Però non viene data alcuna spiegazione, come se fosse un dato di fatto. Io ragionandoci ho pensato che questa condizione serve per porre $\epsilon$ in modo tale che i due intorni $abs(f(x)-l)<\epsilon$ e $abs(f(x)-l')<\epsilon$ non si intersechino. Ma sapete dirmi perché non si possono intersecare?

[axpgn]

Perché li scegli apposta così, per poter dimostrare la tesi.
Nota che puoi scegliere $epsilon$ come vuoi quindi lo scegli in maniera che ti sia utile

[ema0910]

Ma così non sarebbe una forzatura per far riuscire per forza la dimostrazione? Dal punto di vista matematico non sembra che abbia molto senso

[84f45e194ee50365c2aa8ead271e4a9d9bb017bb]

Forzi sì \( \epsilon \) ma dal punto di vista matematico invece ha molto senso. Nella definizione di limite c'è un quantificatore ben preciso davanti alla \( \epsilon\) ovvero il \( \forall\).
Infatti \( \forall \epsilon >0\) questo significa che per tutti gli \( \epsilon >0 \) (ma proprio per tutti quelli che vuoi, a condizione che siano positivi) esiste un \( \delta >0\) tale che per tutte le \( x \) tale che \(0 < \left| x- x_0 \right| \leq \delta \) allora risulta \( \left| f(x)- \ell \right| \leq \epsilon \).

Pertanto siccome tu stai supponendo per assurdo che ci sono due limiti distinti \( \ell \) ed \( \ell' \), nota che sono due numeri fissi e non variano. Supponendo \( \ell < \ell' \) (lo puoi supporre in quanto sono diversi) hai che \( \frac{\ell' - \ell}{2} \in \mathbb{R}_+^* \) ed è un numero fisso e positivo quindi \( 0 < \frac{\ell' - \ell}{2} \) e nell'intervallo aperto \( (0, \frac{\ell' - \ell}{2}) \) puoi trovare infiniti numeri positivi. Siccome nella definizione di limite c'è il quantificatore "per ogni" \( \epsilon >0 \) allora la definizione deve valere anche per \( \epsilon \in (0, \frac{\ell' - \ell}{2}) \).
Quindi scegli un \( \epsilon \) in quell intervallo e ti soddisfa automaticamente questa relazione:
\[ 0< \epsilon < \frac{\ell' - \ell}{2} \]

ora seguendo l'argomento del libro arrivi alla conclusione che \( \epsilon > \frac{\ell' - \ell}{2} \) che è una contraddizione.