Dimostrazione teorema della media integrale con Lagrange

[1ac0p0]

La domanda fondamentale è: regge la seguente dimostrazione del teorema della media integrale?

Tesi ( penso la conosciate tutti ma la riscrivo ): se $ f:[a,b]rarr cc(R) $ è continua, allora esiste $ c in [a,b] $ tale che $ f(c)= 1 / (b-a) int_(a)^(b) f(x)dx $ .

Dimostrazione: se $ f(x) $ è continua, allora è integrabile, per cui esistono infinite primitive $ F(x) $ di $ f(x) $, che differiscono di una costante, per cui vale, per definizione:

$ D[F(x)]=f(x) $ , da cui: $ F(x) $ è derivabile e quindi anche continua, il che soddisfa le ipotesi di Lagrange, per cui posso scrivere, applicando Lagrange a $ F(x) $:

$ f(c)=(F(b)-F(a)) / (b-a) $ , che non è altro che la tesi: $ f(c)=1 / (b-a) int_(a)^(b) f(x)dx $

C'è qualche errore da qualche parte che mi è sfuggito?

[1ac0p0]

Per favore?

[Gi81]

Nello scrivere che $F(b)-F(a)= int_a^b f(x) dx$ stai usando il teorema fondamentale del calcolo integrale, e non credo che tu lo possa usare.

Infatti nella dimostrazione di tale teorema si passa proprio per il teorema della media integrale.

[1ac0p0]

È vero ma del teorema fondamentale del calcolo integrale esistono dimostrazioni che non sfruttano la media integrale, mi riferisco alla dimostrazione che sfrutta l'integrale di Riemann che si può trovare su Wikipedia, magari è come per Lagrange, che si può dimostrare anche con Rolle, nonostante Rolle sia un "sottocaso" di Lagrange.
Questa dimostrazione mi è venuta in mente guardando le tesi di Lagrange e teorema della media e notando che sono simili, il che mi porta a pensare che siano la stessa cosa vista da due punti differenti, è questo che mi ha stimolato il dubbio