Dimostrazione su triangolo qualsiasi.

[Marco241]

Nel triangolo ABC si uniscano i vertici con un punto interno O e si dimostri che OA+AB+OC è minore del perimetro e maggiore del semiperimetro.

Adesso senza dilungarmi nella dimostrazione riporto solo il mio problema.

Allora la seconda parte del problema la dimostro tranquillamente mentre la prima no ossia:

$ OA+OB+OC

dove P è il perimetro.

Adesso ragiono cosi':

la somma di tutti gli angoli nel vertice O deve dare un angolo giro.Supposto gli angoli ottusi (120gradi) posso scrivere:

$ OA $ OB $ OC
Sommando membro a membro ho la prima parte della tesi...però gli angoli potrebbero essere diversi da 120 gradi...ad esempio 270,45 e 45...come posso ragionare in generale?

[vittorino70]

Secondo me non puoi ragionare sugli angoli perché questi dipendono dalla posizione di O all'interno del triangolo.
Fai così.Congiungi A con O e chiama Q l'intersezione di AO con BC.Adesso dal triangolo AQC hai:
AQ Oppure :
a) AO+OQ Congiungi ora O con B e dal triangolo BOQ hai:
b) BO Sommando (a) e (b) ricavi che :
AO+BO+OQ Eliminando OQ da entrambi i membri ed osservando che QC+BQ=BC ottieni:
AO+BO Analogamente hai che :
BO+CO CO+AO Sommando le ultime 3 equazioni di sopra ricavi che :
2AO+2BO+2CO<2AB+2BC+2AC
e dividendo per 2:
AO+BO+CO che è la tesi
Ciao

[Marco241]

Grazie!Questa cosa del punto Q mi era proprio sfuggita.Domani rifaccio i calcoli.