Dimostrazione su 2a(2b-1)
Ciao a tutti. CHiedo un aiuto riguardo un dubbio che nasce da un esercizio e dovrei concludere. Tuttavia seppure sia ovvio intuitivamente non trovo la strada migliore per dimostrare che ciò che ritengo giusto lo sia davvero.
Sono in pratica arrivato a una relazione che dati a e b che assumono entrambi tutti i valori naturali ≥ vale che : 2a(2b-1)x (x parametro fissato in principio) e vorrei dimostrare che facendo variare "b" da 1 a infinito e "a" da uno a infinito allora tutti i valori 2a(2b-1) sono contenuti in 2a.
E' abbastanza ovvio perché se "a" sono tutti i naturali "a(2b-1)" ne sono un sottoinsieme e quindi è contenuto. Ma come faccio a dimostrare in modo corretto questa conclusione?
Ringrazio per eventuali risposte.
Sono in pratica arrivato a una relazione che dati a e b che assumono entrambi tutti i valori naturali ≥ vale che : 2a(2b-1)x (x parametro fissato in principio) e vorrei dimostrare che facendo variare "b" da 1 a infinito e "a" da uno a infinito allora tutti i valori 2a(2b-1) sono contenuti in 2a.
E' abbastanza ovvio perché se "a" sono tutti i naturali "a(2b-1)" ne sono un sottoinsieme e quindi è contenuto. Ma come faccio a dimostrare in modo corretto questa conclusione?
Ringrazio per eventuali risposte.
Risposte
Ciao, basta che scegli $b=1$.
A parte il fatto che non si capisce nulla, credo che il punto della questione sia mostrare che ogni numero del tipo $2a(2b-1)$ è un numero pari... Ma grazie al cavolo, è un multiplo di $2$!
Comunque, chiarire il problema non sarebbe una cattiva idea.
Comunque, chiarire il problema non sarebbe una cattiva idea.
Grazie delle risposte cortesi.
Provo a chiarire come giustamente richiedete.
Vorrei mostrare che dato $2a(2b−1)$ con a e b che possono assumere volta per volta qualunque numero naturale, allora tale numero è per forza di cose rappresentabile come $2a'$.
Effettivamente, esempio: se pongo b=3 e a=2, posso riscriverlo come 2a' con a' di nuovo un naturale. Giustamente questo potrei vederlo dicendo: essendo 2a' un qualsiasi pari, allora anche 2a(2b−1) che è pari è rappresentabile come 2a'.
Però vorrei fare di più, ossia vorrei mostrare che l'insieme dato dalla relazione $2a(2b−1)$ con a e b qualsiasi è contenuto in tutti i numeri della forma $2a'$ (e questo ok per quanto sopra), ma che in generale un numero $2a(2b−1)$ non contienequello della forma $2a'$
Provo a chiarire come giustamente richiedete.
Vorrei mostrare che dato $2a(2b−1)$ con a e b che possono assumere volta per volta qualunque numero naturale, allora tale numero è per forza di cose rappresentabile come $2a'$.
Effettivamente, esempio: se pongo b=3 e a=2, posso riscriverlo come 2a' con a' di nuovo un naturale. Giustamente questo potrei vederlo dicendo: essendo 2a' un qualsiasi pari, allora anche 2a(2b−1) che è pari è rappresentabile come 2a'.
Però vorrei fare di più, ossia vorrei mostrare che l'insieme dato dalla relazione $2a(2b−1)$ con a e b qualsiasi è contenuto in tutti i numeri della forma $2a'$ (e questo ok per quanto sopra), ma che in generale un numero $2a(2b−1)$ non contienequello della forma $2a'$
Il numero $2c$ si può scrivere come $2a(2b-1)$ per opportuni $a$ e $b$.
Dimostrazione: basta scegliere $a=c$ e $b=1$. Infatti con questa scelta
$2a(2b-1) = 2c*(2*1-1) = 2c*1 = 2c$.
Dimostrazione: basta scegliere $a=c$ e $b=1$. Infatti con questa scelta
$2a(2b-1) = 2c*(2*1-1) = 2c*1 = 2c$.
"Martino":
Il numero $2c$ si può scrivere come $2a(2b-1)$ per opportuni $a$ e $b$.
Dimostrazione: basta scegliere $a=c$ e $b=1$. Infatti con questa scelta
$2a(2b-1) = 2c*(2*1-1) = 2c*1 = 2c$.
Ossia, l'insieme $\{ 2a(2b-1) ", con " a,b in NN - \{ 0\}\}$ coincide con quello dei numeri pari privato di $0$.
Vi ringrazio, credo di aver capito 
Mi volevo scusare perché sono in III liceo e credo di aver sconfinato in università (me ne accorgo solo ora), facendo il login non devo essermi accordo di non aver ricliccato "secondaria".
Spero di non aver fatto troppo danno, o nel caso se sia spostabile.
Mi è chiaro, però chiedo, in teoria ho mostrato che $2a(2b−1)$ con 2c: 2a(2b−1)=2c⋅(2⋅1−1)=2c⋅1=2c.
ma devo dimostrare anche che 2c coincide con 2a(2b−1), questo posso farlo dicendo: "basta leggere la catena di uguaglianze al contrario?"
Comunque sia vi ringrazio molto per il gentile aiuto.
Mi volevo scusare perché sono in III liceo e credo di aver sconfinato in università (me ne accorgo solo ora), facendo il login non devo essermi accordo di non aver ricliccato "secondaria".
Spero di non aver fatto troppo danno, o nel caso se sia spostabile.
Ossia, l'insieme {2a(2b−1), con a,b∈N−{0}} coincide con quello dei numeri pari privato di 0.
Mi è chiaro, però chiedo, in teoria ho mostrato che $2a(2b−1)$ con 2c: 2a(2b−1)=2c⋅(2⋅1−1)=2c⋅1=2c.
ma devo dimostrare anche che 2c coincide con 2a(2b−1), questo posso farlo dicendo: "basta leggere la catena di uguaglianze al contrario?"
Comunque sia vi ringrazio molto per il gentile aiuto.
[xdom="gugo82"]Ho spostato in Secondaria II grado.[/xdom]
Vedila così...
Hai due insiemi, diciamo $A=\{ 2a(2b-1) " , con " a,b in NN - \{ 0\} \}$ e $P=\{ 2c " , con " c in NN - \{ 0\}\}$ e vuoi dimostrare che $A=P$.
Come si fa?
Semplicemente, si applicano le proprietà della relazione $sube$: se dimostri 1) che $A sube P$ e poi 2) che $P sube A$, allora per proprietà asimmetrica di $sube$ ottieni automaticamente $A = P$.[nota]Osserva che $sube$ è una relazione d'ordine tra gli insiemi, quindi gode della proprietà riflessiva (cioè $A sube A$ per ogni insieme $A$), asimmetrica (cioè se $A sube B ^^ B sube A$ allora $A = B$) e transitiva (ossia, se $A sube B ^^ B sube C$ allora $A sube C$).
Dovresti trovare queste cose sul libro di prima.[/nota]
Per provare 1) $A sube P$ basta far vedere che ogni elemento di $A$ è anche un elemento appartenente a $P$, cioè che per ogni $2a(2b-1) in A$ esiste un $c in NN-\{ 0\}$ tale che $2a(2b-1) = 2c$.
Questo è molto facile: infatti hai:
\[
2\underbrace{a(2b-1)}_{=c} = 2c
\]
e perciò $2a(2b-1) in P$.
Per provare 2) $P sube A$ ti basta mostrare che ogni elemento di $P$ è anche un elemento appartenente ad $A$, ossia che per ogni $2c in P$ esistono $a,b in NN-\{ 0\}$ tali che $2c = 2a(2b-1)$.
Questo è facile, ma (concettualmente) un po' meno del precedente[nota]Hai due "incognite" $a$ e $b$ delle quali stabilire il valore...[/nota]: infatti, se scegli $a=c$ e $b=1$ trovi:
\[
2a(2b-1) = 2c(2\cdot 1-1)=2c
\]
quindi $2c in A$.
A questo punto concludi che $A=P$ per quanto detto sopra.
Vedila così...
Hai due insiemi, diciamo $A=\{ 2a(2b-1) " , con " a,b in NN - \{ 0\} \}$ e $P=\{ 2c " , con " c in NN - \{ 0\}\}$ e vuoi dimostrare che $A=P$.
Come si fa?
Semplicemente, si applicano le proprietà della relazione $sube$: se dimostri 1) che $A sube P$ e poi 2) che $P sube A$, allora per proprietà asimmetrica di $sube$ ottieni automaticamente $A = P$.[nota]Osserva che $sube$ è una relazione d'ordine tra gli insiemi, quindi gode della proprietà riflessiva (cioè $A sube A$ per ogni insieme $A$), asimmetrica (cioè se $A sube B ^^ B sube A$ allora $A = B$) e transitiva (ossia, se $A sube B ^^ B sube C$ allora $A sube C$).
Dovresti trovare queste cose sul libro di prima.[/nota]
Per provare 1) $A sube P$ basta far vedere che ogni elemento di $A$ è anche un elemento appartenente a $P$, cioè che per ogni $2a(2b-1) in A$ esiste un $c in NN-\{ 0\}$ tale che $2a(2b-1) = 2c$.
Questo è molto facile: infatti hai:
\[
2\underbrace{a(2b-1)}_{=c} = 2c
\]
e perciò $2a(2b-1) in P$.
Per provare 2) $P sube A$ ti basta mostrare che ogni elemento di $P$ è anche un elemento appartenente ad $A$, ossia che per ogni $2c in P$ esistono $a,b in NN-\{ 0\}$ tali che $2c = 2a(2b-1)$.
Questo è facile, ma (concettualmente) un po' meno del precedente[nota]Hai due "incognite" $a$ e $b$ delle quali stabilire il valore...[/nota]: infatti, se scegli $a=c$ e $b=1$ trovi:
\[
2a(2b-1) = 2c(2\cdot 1-1)=2c
\]
quindi $2c in A$.
A questo punto concludi che $A=P$ per quanto detto sopra.
Grazie, così riesco a vederla bene. Devo cercare di impostare i dubbio già in modo intelligente così da seguire una via per dimostrare quello che voglio ottenere, invece, come mi avete fatto notare all'inizio era un bel pasticcio.
Solo un'ultima domanda riguardo la relazione d'ordine che hai accennato nella nota. Mi ricordo quanto dici, tuttavia l'ho sempre chiamata antisimmetrica. E' la stessa cosa di asimmetrica? Perché oggi non ho il libro sotto mano, quindi non vorrei ricordare male il termine e aver sbagliato fino ad oggi
.
Ne approfitto per ringraziarti/vi.
Solo un'ultima domanda riguardo la relazione d'ordine che hai accennato nella nota. Mi ricordo quanto dici, tuttavia l'ho sempre chiamata antisimmetrica. E' la stessa cosa di asimmetrica? Perché oggi non ho il libro sotto mano, quindi non vorrei ricordare male il termine e aver sbagliato fino ad oggi
.Ne approfitto per ringraziarti/vi.
antisimmetrica, hai ragione
conoscendo gugo, immagino sia stato un agguato del correttore automatico
conoscendo gugo, immagino sia stato un agguato del correttore automatico
"Fioravante Patrone":
antisimmetrica, hai ragione
Già.
"Fioravante Patrone":
conoscendo gugo, immagino sia stato un agguato del correttore automatico
No, FP, è che mi sono rincoglionito io precocemente...
Grazie mille ancora
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo