Dimostrazione simmetria assiale
'Disegna una retta $r$ e due punti $A$ e $B$ non appartenenti a $r$ e posti nel medesimo semipiano avente origine nella retta. Considera un punto $P$ che può scorrere sulla retta. Determina $P$ in modo tale che il percorso $APB$ sia minimo'.
Procedendo a tentativi, sono arrivato alla conclusione che $P$ è il punto di intersezione fra $AB'$ e $A'B$, dove $A'$ e $B'$ sono i corrispondenti di $A$ e $B$ rispetto alla simmetria di asse $r$. La mia soluzione è corretta? E soprattutto: se sì, perché?
Procedendo a tentativi, sono arrivato alla conclusione che $P$ è il punto di intersezione fra $AB'$ e $A'B$, dove $A'$ e $B'$ sono i corrispondenti di $A$ e $B$ rispetto alla simmetria di asse $r$. La mia soluzione è corretta? E soprattutto: se sì, perché?
Risposte
Se il punto $P$ giace sulla retta $r$ ed $A,B$ non fanno parte di essa, congiungendo i tre punti avrai un triangolo $APB$. La distanza che congiunge $PA$ e $PB$ varierà molto a seconda di dove sposti $P$, potendolo spostare a piacimento su tutta la retta (avrai quindi tutti i tipi di triangolo).
Ora in teoria basterebbe ragionare intorno all'altezza di questo triangolo che parte da $P$, dato che l'altezza in un triangolo è il segmento più breve (quindi perpendicolare) che unisce un vertice alla retta contenente il lato opposto. Se tracci una linea perpendicolare alla retta $r$ e che passa da $P$, nello "spazio" tra $A$ e $B$ troverai un punto che minimizza il triangolo $APB$. Questo punto, se non sbaglio, dovrebbe corrispondere con il punto medio di $AB$. Se chiamiamo $M$ questo punto e lo proiettiamo sulla retta $r$ diverrà il nostro punto $P$.
Non avendo informazioni sull'angolazione del segmento $AB$ mi sembra plausibile scegliere questo punto, ma non ho una dimostrazione.
Ora in teoria basterebbe ragionare intorno all'altezza di questo triangolo che parte da $P$, dato che l'altezza in un triangolo è il segmento più breve (quindi perpendicolare) che unisce un vertice alla retta contenente il lato opposto. Se tracci una linea perpendicolare alla retta $r$ e che passa da $P$, nello "spazio" tra $A$ e $B$ troverai un punto che minimizza il triangolo $APB$. Questo punto, se non sbaglio, dovrebbe corrispondere con il punto medio di $AB$. Se chiamiamo $M$ questo punto e lo proiettiamo sulla retta $r$ diverrà il nostro punto $P$.
Non avendo informazioni sull'angolazione del segmento $AB$ mi sembra plausibile scegliere questo punto, ma non ho una dimostrazione.
Ciao. Intanto ti ringrazio per la risposta.
Calcolando la distanza con un righello al millimetro, il mio percorso risulta del 3% circa minore del tuo. Non dovrei aver fatto errori di misurazione, magari se puoi prova anche tu a rappresentare sia la mia soluzione che la tua.
Calcolando la distanza con un righello al millimetro, il mio percorso risulta del 3% circa minore del tuo. Non dovrei aver fatto errori di misurazione, magari se puoi prova anche tu a rappresentare sia la mia soluzione che la tua.
Credo che la cosa sia più semplice di quella proposta da rombo.
La via più breve tra due punti nel piano è una retta, ma si cerca la via più breve che passi per r.
Prendi il punto A e B', simmetrico di B rispetto ad r, e congiungi i due punti. Il segmento AB' interseca r in un punto P, inoltre $AP+PB =AB'$.
La via più breve tra due punti nel piano è una retta, ma si cerca la via più breve che passi per r.
Prendi il punto A e B', simmetrico di B rispetto ad r, e congiungi i due punti. Il segmento AB' interseca r in un punto P, inoltre $AP+PB =AB'$.
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