Dimostrazione Semicirconferenza
Ciao a tutti, mi sono ritrovato ad avere a che fare con una semicirconferenza e nel libro ho trovato la formula della semicirconferenza ovvero $ y= sqrt (r^2 - x^2) $.
Non ho avuto problemi per applicarla ma un dubbio mi sorge: Da dove è scaturita questa formula?
E' possibile avere una dimostrazione matematica? Chiedo aiuto a voi sicuramente esperti di queste cose.
Magari è una domanda stupida ma vorrei capire il perchè della deduzione di tale formula. Grazie.
Non ho avuto problemi per applicarla ma un dubbio mi sorge: Da dove è scaturita questa formula?
E' possibile avere una dimostrazione matematica? Chiedo aiuto a voi sicuramente esperti di queste cose.
Magari è una domanda stupida ma vorrei capire il perchè della deduzione di tale formula. Grazie.
Risposte
L' equazione di una circonferenza centrata nell'origine in un sistema di assi cartesiani è
$x^2 + y^2 = r^2$ dove r è il generico raggio della circoferenza.
Si isola y nell'equazione quindi
$x^2 + y^2 = r^2$ , $y^2=r^2-x^2$ , $y= pm sqrt(r^2-x^2)$
L'ultima equazione esprime ancora la circonferenza di partenza, se vuoi prenderne una "metà" ovvero una semicirconferenza consideri solo il segno + o il segno - e rispettivamente ottieni la semicirc. dei quadranti 1 e 2, oppure quella dei quadranti 3 e 4.
quindi prendendo il segno + si ottiene l'equazione $y=sqrt(r^2-x^2)$
$x^2 + y^2 = r^2$ dove r è il generico raggio della circoferenza.
Si isola y nell'equazione quindi
$x^2 + y^2 = r^2$ , $y^2=r^2-x^2$ , $y= pm sqrt(r^2-x^2)$
L'ultima equazione esprime ancora la circonferenza di partenza, se vuoi prenderne una "metà" ovvero una semicirconferenza consideri solo il segno + o il segno - e rispettivamente ottieni la semicirc. dei quadranti 1 e 2, oppure quella dei quadranti 3 e 4.
quindi prendendo il segno + si ottiene l'equazione $y=sqrt(r^2-x^2)$
Mh grazie. Ci stavo pensando anche io. Ma se il centro non è l'origine degli assi? Sempre questa formula ( $ y=sqrt (r^2 - x^2) $ ) devo usare?
"Lory90":
Ma se il centro non è l'origine degli assi? Sempre questa formula ( $ y=sqrt (r^2 - x^2) $ ) devo usare?
Ovviamente no. Supponiamo che il centro sia il punto $C(x_0; y_0)$ e il raggio sia $r$, i punti che distano $r$ dal centro sono i punti $P(x; y)$ che verificano l'equazione $(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=r^2$, da questa formula per ricavare la $y$, e quindi una semicirconferenza, puoi isolare la $y$
$(y-y_0)^2=r^2 - (x-x_0)^2$, estrarre la radice quadrata $y-y_0=+-sqrt(r^2 - (x-x_0)^2)$ da cui le due semicirconferenze
$y=y_0 +sqrt(r^2 - (x-x_0)^2)$ che è la semicirconferenza che sta sopra al centro e
$y=y_0 -sqrt(r^2 - (x-x_0)^2)$ che è quella che sta sotto
Ovviamente no.
Si usa sempre il solito procedimento,se ad esempio hai una circonferenza di centro $(x_0;y_0)$ e raggio $r$
e quindi di equazione $(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=r^2$
Fai lo stesso procedimento di prima e ottieni
$y=y_0 pm sqrt(r^2-(x-x_0)^2)$
Ma comunque non è l'unico modo per ottenere semicirconfernze, puoi anche isolare $x$ quindi utilizzi un diametro parallelo all'asse delle ordinate
oppure un generico diametro obliquo, ma è più complicato.
Il vantaggio di isolare $y$ e poi prendere il segno + o - è che ottieni una equazione che rappresenta una funzione.
Si usa sempre il solito procedimento,se ad esempio hai una circonferenza di centro $(x_0;y_0)$ e raggio $r$
e quindi di equazione $(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=r^2$
Fai lo stesso procedimento di prima e ottieni
$y=y_0 pm sqrt(r^2-(x-x_0)^2)$
Ma comunque non è l'unico modo per ottenere semicirconfernze, puoi anche isolare $x$ quindi utilizzi un diametro parallelo all'asse delle ordinate
oppure un generico diametro obliquo, ma è più complicato.
Il vantaggio di isolare $y$ e poi prendere il segno + o - è che ottieni una equazione che rappresenta una funzione.
Giuro che non ho copiato da @melia
anche se abbiamo scritto due messaggi molto simili...
anche se abbiamo scritto due messaggi molto simili...
Grazie mille a tutte e due.. 
"Lory90":
Ciao a tutti, mi sono ritrovato ad avere a che fare con una semicirconferenza e nel libro ho trovato la formula della semicirconferenza ovvero $ y= sqrt (r^2 - x^2) $.
.....
date le perplessità maniferstate successivamente, penso a quanti dubbi possono venire se il testo di un esercizio non è chiaro oppure se viene letto frettolosamente. immagino che ci possa essere scritto "la semicirconferenza $ y= sqrt (r^2 - x^2) $ ", ma questo non per dire che quella citata è l'equazione generica della semicirconferenza, ma solo per dire che stiamo parlando di "una semicirconferenza particolare", cioè quella che può essere definita ad esempio come "il luogo geometrico dei punti del piano cartesiano $Oxy$ che hanno distanza $r$ dall'origine ed hanno ordinata non negativa" ...
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