Dimostrazione scomposizione trinomio
salve, la dimostrazione della scomposizione di un trinomio della forma $ax^2+bx+c$ è accessibile a uno di 1^ liceo?
Risposte
Se chiamiamo $x_1$ e $x_2$ le radici del polinomio, ovvero i valori di $x$ per i quali il polinomio vale zero (detto in parole povere: le soluzioni dell'equazione $ax^2+bx+c=0$), vale la seguente relazione
$ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$
Tu fino a che punto sei arrivato col programma a scuola? Mi sono scordato quello che si fa in 1°liceo
Ciao.
$ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$
Tu fino a che punto sei arrivato col programma a scuola? Mi sono scordato quello che si fa in 1°liceo
Ciao.
"Steven":
Se chiamiamo $x_1$ e $x_2$ le radici del polinomio, ovvero i valori di $x$ per i quali il polinomio vale zero (detto in parole povere: le soluzioni dell'equazione $ax^2+bx+c=0$), vale la seguente relazione
$ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$
Tu fino a che punto sei arrivato col programma a scuola? Mi sono scordato quello che si fa in 1°liceo
Ciao.
ciao, non ho capito l'uguaglianza. Non ho ancora fatto le equazioni di 2° grado, e forse qua servirebbero. Sto facendo le fraz. algebriche
Ciao Pippo
Forse ti può servire percorrere la via inversa:
$(x+a)(x+b)=x^2+x(a+b)+ab
quindi se il coeff. di $x^2$ è $1$ devi trovare due numeri $a,b$ che abbiano:
per somma il coeff. di $x$
per prodotto il termine noto.
Nel caso in cui il coeff. di $x^2$ non sia $1$ puoi scrivere
$(kx+a)(x+b)$ e procedere come sopra.
P.S. scusa Pippo. Ho editato; mancava un esponente
Forse ti può servire percorrere la via inversa:
$(x+a)(x+b)=x^2+x(a+b)+ab
quindi se il coeff. di $x^2$ è $1$ devi trovare due numeri $a,b$ che abbiano:
per somma il coeff. di $x$
per prodotto il termine noto.
Nel caso in cui il coeff. di $x^2$ non sia $1$ puoi scrivere
$(kx+a)(x+b)$ e procedere come sopra.
P.S. scusa Pippo. Ho editato; mancava un esponente
"silente":
Ciao Pippo
Forse ti può servire percorrere la via inversa:
$(x+a)(x+b)=x^2+x(a+b)+ab
quindi se il coeff. di $x^2$ è $1$ devi trovare due numeri $a,b$ che abbiano:
per somma il coeff. di $x$
per prodotto il termine noto.
Nel caso in cui il coeff. di $x^2$ non sia $1$ puoi scrivere
$(kx+a)(x+b)$ e procedere come sopra.
P.S. scusa Pippo. Ho editato; mancava un esponente
Grazie Silente,
dunque dovrebbe essere $(kx+a)(x+b)=kx^2+kbx+ax+ab$ e quindi trovare due numeri di somma kb+a e di prodotto kab ci consente di scomporre. Ma questa che hai postato tu non è più una verifica che una dimostrazione?
"pippo93":
ciao, non ho capito l'uguaglianza. Non ho ancora fatto le equazioni di 2° grado, e forse qua servirebbero. Sto facendo le fraz. algebriche
Non te l'ho dimostrata.
Ti dirò in breve.
Se hai un'equazione
$ax^2+bx+c=0$
le soluzioni sono in genere due, perché l'equazione è di secondo grado.
Si può dimostrare (anche se da noi non si dimostrava) che le due soluzioni $x_1$ e $x_2$ sono
$x_1=frac{-b+sqrt(b^2-4ac)}{2a}$
$x_2=frac{-b-sqrt(b^2-4ac)}{2a}$
Se ad esempio hai
$x^2+3x+2=0$ applichi la formula e ottieni
$x_2=frac{-3-sqrt(3^2-4*1*2)}{2}=frac{-3-1}{2}=-2$
$x_1=frac{-3+sqrt(3^2-4*1*2)}{2}=frac{-3+1}{2}=-1$
Ovvero -1 e -2 soddisfano l'equazione.
Se ora provi a sommare l'espressione delle due soluzioni (dalla formula generale, prova per esercizio), ovvero $x_1+x_2$ ti accorgi che ottieni come risultato
$-b/a$.
Se invece fai la moltiplicazione, ottieni $c/a$
Ciò significa che se guardi un'equazione di secondo grado (se ammette soluzioni, ma ora non curarti di questo aspetto), puoi subito scoprire quanto vale il prodotto delle radici facendo quella divisione, o scoprire quanto vale la somma.
Se proviamo con il caso precedente, vedi infatti che la divisone tra $-b$ e $a$ vale $(-3)/1$ ovvero $-3$, e infatti la somma delle soluzioni trovate, $-1$ e $-2$ fa $-3$
Questo per concludere così: se hai
$ax^2+bx+c=0$
raccogliamo $a$ ottenendo
$a(x^2+b/ax+c/a)=0$
ma riconosci subito che il coefficiente della $x$ sarebbe la somma delle due radici cambiata di segno, e il termine noto è il prodotto delle radici.
Perciò hai
$a(x^2-(x_1+x_2)x+x_1x_2)=0$
svolgendo i calcoli
$a(x^2-x_1x-x_2x+x_1x_2)=0$
raccogliendo a fattor parziale (dovresti conoscerlo)
$
$a[x(x-x_1)-x_2(x-x_2)]=0$
ovvero
$a(x-x_1)(x-x_2)=0$
Ho cercato di essere compatto, se qualcosa non ti torna, dimmelo pure.
Ciao.
Grazie Silente,
dunque dovrebbe essere $(kx+a)(x+b)=kx^2+kbx+ax+ab$ e quindi trovare due numeri di somma kb+a e di prodotto kab ci consente di scomporre. Ma questa che hai postato tu non è più una verifica che una dimostrazione?
Yes; sorry
.Ciao
[/quote]
"Steven":
[quote="pippo93"]
ciao, non ho capito l'uguaglianza. Non ho ancora fatto le equazioni di 2° grado, e forse qua servirebbero. Sto facendo le fraz. algebriche
Non te l'ho dimostrata.
Ti dirò in breve.
Se hai un'equazione
$ax^2+bx+c=0$
le soluzioni sono in genere due, perché l'equazione è di secondo grado.
Si può dimostrare (anche se da noi non si dimostrava) che le due soluzioni $x_1$ e $x_2$ sono
$x_1=frac{-b+sqrt(b^2-4ac)}{2a}$
$x_2=frac{-b-sqrt(b^2-4ac)}{2a}$
Se ad esempio hai
$x^2+3x+2=0$ applichi la formula e ottieni
$x_2=frac{-3-sqrt(3^2-4*1*2)}{2}=frac{-3-1}{2}=-2$
$x_1=frac{-3+sqrt(3^2-4*1*2)}{2}=frac{-3+1}{2}=-1$
Ovvero -1 e -2 soddisfano l'equazione.
Se ora provi a sommare l'espressione delle due soluzioni (dalla formula generale, prova per esercizio), ovvero $x_1+x_2$ ti accorgi che ottieni come risultato
$-b/a$.
Se invece fai la moltiplicazione, ottieni $c/a$
Ciò significa che se guardi un'equazione di secondo grado (se ammette soluzioni, ma ora non curarti di questo aspetto), puoi subito scoprire quanto vale il prodotto delle radici facendo quella divisione, o scoprire quanto vale la somma.
Se proviamo con il caso precedente, vedi infatti che la divisone tra $-b$ e $a$ vale $(-3)/1$ ovvero $-3$, e infatti la somma delle soluzioni trovate, $-1$ e $-2$ fa $-3$
Questo per concludere così: se hai
$ax^2+bx+c=0$
raccogliamo $a$ ottenendo
$a(x^2+b/ax+c/a)=0$
ma riconosci subito che il coefficiente della $x$ sarebbe la somma delle due radici cambiata di segno, e il termine noto è il prodotto delle radici.
Perciò hai
$a(x^2-(x_1+x_2)x+x_1x_2)=0$
svolgendo i calcoli
$a(x^2-x_1x-x_2x+x_1x_2)=0$
raccogliendo a fattor parziale (dovresti conoscerlo)
$
$a[x(x-x_1)-x_2(x-x_2)]=0$
ovvero
$a(x-x_1)(x-x_2)=0$
Ho cercato di essere compatto, se qualcosa non ti torna, dimmelo pure.
Ciao.[/quote]
grazie mille Steven, credo di aver capito. Se non sbaglio quelle che tu indichi con $x_1$ e $x_2$ si chiamano anche radici di polinomi, cioè le soluzioni dell'equazione dove al primo membro abbiamo un polinomio e al secondo 0 (anche se adesso ha poca importanza il nome), no?
Comunque , come tu hai dimostrato, se un trinomio di quel tipo ammette radici, allora la loro somma sarà il coefficiente del termine in x e il loro prodotto sarà il termine noto e che la loro conoscenza ci permette di scomporre a gruppi, spezzando il termine in x, come si capisce in modo diretto dal tuo intervento. Ho capito bene?
Mi redimo
$ax^2+bx+c=0$
Moltiplicando i due membri per $4a$ (con $a!=0$)
$4a^2x^2+4abx+4ac=0$
Addizionando a entrambi i membri $b^2$
$4a^2x^2+4abx+4ac+b^2=b^2$
Addizionando a entrambi i membri $(-4ac)$
$4a^2x^2+4abx+4ac+b^2-4ac=b^2-4ac$
Si ottiene
$4a^2x^2+4abx+b^2=b^2-4ac$
Il membro di sinistra è il quadrato di un binomio
$(2ax+b)^2=b^2-4ac$
Da questa, estraendo la radice e ricavando la $x$ trovi la formula che ti ha dato Steven
Ciao
$ax^2+bx+c=0$
Moltiplicando i due membri per $4a$ (con $a!=0$)
$4a^2x^2+4abx+4ac=0$
Addizionando a entrambi i membri $b^2$
$4a^2x^2+4abx+4ac+b^2=b^2$
Addizionando a entrambi i membri $(-4ac)$
$4a^2x^2+4abx+4ac+b^2-4ac=b^2-4ac$
Si ottiene
$4a^2x^2+4abx+b^2=b^2-4ac$
Il membro di sinistra è il quadrato di un binomio
$(2ax+b)^2=b^2-4ac$
Da questa, estraendo la radice e ricavando la $x$ trovi la formula che ti ha dato Steven
Ciao
Se non sbaglio quelle che tu indichi con $x_1$ e $x_2$ si chiamano anche radici di polinomi, cioè le soluzioni dell'equazione dove al primo membro abbiamo un polinomio e al secondo 0 (anche se adesso ha poca importanza il nome), no?
Si, giusto.
Comunque , come tu hai dimostrato, se un trinomio di quel tipo ammette radici, allora la loro somma sarà il coefficiente del termine in x e il loro prodotto sarà il termine noto
Aspetta: la somma delle due radici non è il coefficiente del termine in $x$, ma il rapporto del coefficiente del termine in $x$ e il coefficiente del termine $x^2$, il tutto con un "meno" davanti.
Come avevo scritto, se hai
$ax^2+bx+c=0$ e $x_1$ e $x_2$ sono le radici, abbiamo, dicendo in formule quello a cui mi riferivo prima,
$x_1+x_2=-b/a$
$x_1x_2=c/a$
Se poi il coefficiente del termine a grado massimo (ovvero $x^2$) vale $1$, ovvero $a=1$, abbiamo un cosiddetto "polinomio monico", e in questo caso la formule diventano
$x_1+x_2=-b$
$x_1x_2=c$
(ho tolto $a$ che vale $1$).
la loro conoscenza ci permette di scomporre a gruppi, spezzando il termine in x, come si capisce in modo diretto dal tuo intervento. Ho capito bene?
Se intendi dire
$ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$,
si.
Ciao.
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