Dimostrazione (rombo) II
Per questa dimostrazione ho qualche dubbio.
Ipotesi
1. ABCD è un rombo;
2. $O = ACnnnDB$
3. $HinAB$
4. $KinBC$
5. $P inCD$
6. $QinDA$
7. $OH\botAB$
8. $OK\botBC$
9. $OP\botCD$
10. $OQ\botDA$
Tesi
a) $OH~=OK~=OP~=OQ$
b) i punti P, O e H sono allineati
c) i punti Q, O e K sono allineati
Dim.
a)
$OHB~=OKB$ perchè retti per ip. 7 e 8, $\hat{O B H}=\hat{O B K}$ per ipotesi 1, OB è segmento comune. Da ciò si deduce che $OH~=OK$.
Ragionamenti analoghi a quello proposto conducono alla dimostrazione della tesi a).
b)
I segmenti DC e AB sono paralleli per ip.1. Inoltre $\hat{O P D}~=\hat{O H B}~=\hat{R}$ per ip. 7 e 9. Tali angoli sono quindi alterni interni delle rette parallele DC e AB tagliate dalla trasversale PH. Da ciò consegue che i tre punti H, O e P debbono giacere su tale trasversale.
Un analogo ragionamento a quello proposto dimostra la tesi c).
Grazie ancora.
Ipotesi
1. ABCD è un rombo;
2. $O = ACnnnDB$
3. $HinAB$
4. $KinBC$
5. $P inCD$
6. $QinDA$
7. $OH\botAB$
8. $OK\botBC$
9. $OP\botCD$
10. $OQ\botDA$
Tesi
a) $OH~=OK~=OP~=OQ$
b) i punti P, O e H sono allineati
c) i punti Q, O e K sono allineati
Dim.
a)
$OHB~=OKB$ perchè retti per ip. 7 e 8, $\hat{O B H}=\hat{O B K}$ per ipotesi 1, OB è segmento comune. Da ciò si deduce che $OH~=OK$.
Ragionamenti analoghi a quello proposto conducono alla dimostrazione della tesi a).
b)
I segmenti DC e AB sono paralleli per ip.1. Inoltre $\hat{O P D}~=\hat{O H B}~=\hat{R}$ per ip. 7 e 9. Tali angoli sono quindi alterni interni delle rette parallele DC e AB tagliate dalla trasversale PH. Da ciò consegue che i tre punti H, O e P debbono giacere su tale trasversale.
Un analogo ragionamento a quello proposto dimostra la tesi c).
Grazie ancora.
Risposte
"alfredo":
... tagliate dalla trasversale PH.
avevo cancellato il mio post, ma continuo ad avere dubbi sul fatto che se diciamo che PH è una trasversale, diamo per scontato che P O H siano allineati.
Io direi piuttosto:
OP perpendicolare CD
OH perpendicolare AB
essendo AB parallelo a CD
per l'unicità della perpendicolare per un punto possiamo dire che P, O, H giacciono sulla stessa retta.
Si Piero, anch'io, come avevo anticipato, ho qualche dubbio. Anche se, ripensandoci, mi sembra che possa reggere. A questo proposito sarei interessato a conoscere l'opinione di qualche altro membro di questa splendida comunità di apprendimento.
Comunque la tua proposta mi piace.
Grazie.
Comunque la tua proposta mi piace.
Grazie.
Allora:
a) Parzialmente ok. Anche se sarebbe meglio che specifichi il fatto che ti riferisci al teorema per cui le diagonali di un rombo sono bisettrici, dato che questo non fa parte della definizione di rombo. Inoltre tu deduci chiaramente che $OH=OK$ e $OP=OQ$. Non fai vedere che sono tutti e quattro uguali.
b) Ha ragione piero. Se tu parli di PH, come retta che unisce P e H, non è scontato che passi per il punto O.
(Per non confonderti, in brutta puoi disegnare OH e OP un po' storti, come se non stessero sulla stessa retta)
Per dimostrare la tesi puoi fare vedere che l'angolo $H\hatOP = pi".
$H\hatOP = H\hatOB + B\hatOC + C\hatOP $
Prova a continuare.
a) Parzialmente ok. Anche se sarebbe meglio che specifichi il fatto che ti riferisci al teorema per cui le diagonali di un rombo sono bisettrici, dato che questo non fa parte della definizione di rombo. Inoltre tu deduci chiaramente che $OH=OK$ e $OP=OQ$. Non fai vedere che sono tutti e quattro uguali.
b) Ha ragione piero. Se tu parli di PH, come retta che unisce P e H, non è scontato che passi per il punto O.
(Per non confonderti, in brutta puoi disegnare OH e OP un po' storti, come se non stessero sulla stessa retta)
Per dimostrare la tesi puoi fare vedere che l'angolo $H\hatOP = pi".
$H\hatOP = H\hatOB + B\hatOC + C\hatOP $
Prova a continuare.
Allora:
a) Parzialmente ok. Anche se sarebbe meglio che specifichi il fatto che ti riferisci al teorema per cui le diagonali di un rombo sono bisettrici, dato che questo non fa parte della definizione di rombo.
Si hai ragione.
Inoltre tu deduci chiaramente che OH=OK e OP=OQ. Non fai vedere che sono tutti e quattro uguali.
Concordo anche qui. Completo, quindi, la dimostrazione da me proposta relativamente alla tesi a). Dopo aver mostrato la congruenza dei triangoli OHB e OKB dimostro la congruenza di OKC con OPC. La struttura della dimostrazione è simile: i triangoli sono retti, hanno l'ipotenusa in comune ed un angolo acuto in comune (l'angolo in C che risulta dimezzato dalla bisettrice AC). Deduco, pertanto, che OK è congruente ad OP. Applico poi la proprietà transitiva e dovrei esserci.
b) Ha ragione piero. Se tu parli di PH, come retta che unisce P e H, non è scontato che passi per il punto O.
(Per non confonderti, in brutta puoi disegnare OH e OP un po' storti, come se non stessero sulla stessa retta)
Provo a vederlo anche con GeoGebra. Così, a prima vista, non riesco a vederlo.
Per dimostrare la tesi puoi fare vedere che l'angolo ...
Ci provo.
Dimostro che $\hat{POH}~=\hat{P}$ (dove con $\hat{P}$ si intende l'angolo piatto).
$\hat{BOC}~=\hat{R}$, in quanto angolo formato dalle bisettrici di un rombo.
$\hat{POC}+\hat{OCP}~=\hat{R}$ (somma di angoli acuti di un tr. rettangolo).
$\hat{HOB}+\hat{OBH}~=\hat{R}$ (somma di angoli acuti di un tr. rettangolo).
Sommo membro a membro le due ultime espressioni ed ottengo:
$\hat{POC}+\hat{OCP}+\hat{HOB}+\hat{OBH}~=\hat{P}$
Inoltre:
$\hat{OCP}~=\hat{OCK}$, in quanto angoli formati dalla bisezione di un angolo.
$\hat{OBH}~=\hat{OBK}$, in quanto angoli formati dalla bisezione di un angolo.
Quindi, dopo aver sostituito queste ultime due espressione nella precedente ad esse:
$\hat{POC}+\hat{OCK}+\hat{HOB}+\hat{OBK}~=\hat{P}$
E sapendo che:
$\hat{OCK}+\hat{OBK}~=\hat{R}$ (somma di angoli acuti di un tr. rettangolo)
possiamo scrivere:
$\hat{POC}+\hat{HOB}+\hat{R}~=\hat{P}$
$\hat{POC}+\hat{HOB}~=\hat{R}$
che dimostra la tesi.
Troppo lunga?
$\hat{BOC}~=\hat{R}$, in quanto angolo formato dalle bisettrici di un rombo.
$\hat{POC}+\hat{OCP}~=\hat{R}$ (somma di angoli acuti di un tr. rettangolo).
$\hat{HOB}+\hat{OBH}~=\hat{R}$ (somma di angoli acuti di un tr. rettangolo).
Sommo membro a membro le due ultime espressioni ed ottengo:
$\hat{POC}+\hat{OCP}+\hat{HOB}+\hat{OBH}~=\hat{P}$
Inoltre:
$\hat{OCP}~=\hat{OCK}$, in quanto angoli formati dalla bisezione di un angolo.
$\hat{OBH}~=\hat{OBK}$, in quanto angoli formati dalla bisezione di un angolo.
Quindi, dopo aver sostituito queste ultime due espressione nella precedente ad esse:
$\hat{POC}+\hat{OCK}+\hat{HOB}+\hat{OBK}~=\hat{P}$
E sapendo che:
$\hat{OCK}+\hat{OBK}~=\hat{R}$ (somma di angoli acuti di un tr. rettangolo)
possiamo scrivere:
$\hat{POC}+\hat{HOB}+\hat{R}~=\hat{P}$
$\hat{POC}+\hat{HOB}~=\hat{R}$
che dimostra la tesi.
Troppo lunga?
Ora è tutto ok.
Hai detto: "Provo a vederlo anche con GeoGebra. Così, a prima vista, non riesco a vederlo"
Non riesci a vederlo perchè in realtà sono allineati, ma devi fare finta di non saperlo. Il mio suggerimento era di fare il disegno sbagliato apposta per ricordartelo, ma non è necessario.
Inoltre mi sono accorto che Piero è andato molto vicino ad una soluzione alternativa (mancava solo un passaggio).
Infatti:
$ OP\botCD $ $ CD||AB $ $ => $ $ OP\botAB $
$ OH\botAB $
Quindi $ OP-=OH $ per l'unicità della perpendicolare ad una retta passante per un punto.
Hai detto: "Provo a vederlo anche con GeoGebra. Così, a prima vista, non riesco a vederlo"
Non riesci a vederlo perchè in realtà sono allineati, ma devi fare finta di non saperlo. Il mio suggerimento era di fare il disegno sbagliato apposta per ricordartelo, ma non è necessario.
Inoltre mi sono accorto che Piero è andato molto vicino ad una soluzione alternativa (mancava solo un passaggio).
Infatti:
$ OP\botCD $ $ CD||AB $ $ => $ $ OP\botAB $
$ OH\botAB $
Quindi $ OP-=OH $ per l'unicità della perpendicolare ad una retta passante per un punto.
E' un'altra possibilità, ottimo.
P.S.: sto facendo "pratica" con GeoGebra che mi sembra un ottimo strumento per acquisire/affinare la tecnica delle dimostrazioni.
P.S.: sto facendo "pratica" con GeoGebra che mi sembra un ottimo strumento per acquisire/affinare la tecnica delle dimostrazioni.
Non ti so dire. Non ho mai usato nessun programma per la matematica.
Grazie, comunque.
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