Dimostrazione (rettangolo)
Vorrei sapere se la dimostrazione che qui propongo è rigorosa. E, in tal caso, se è anche la più rapida (a me sembra particolarmente lunga). Ecco il testo.
Nel triangolo ABC, isoscele sulla base BC, traccia l'altezza AH e la parallela r per H al lato AB. La perpendicolare m per C a BC interseca tale parallela in P. Dimostra che AHCP è un rettangolo.
Ipotesi:
1. ABC è un triangolo isoscele
2. AH è altezza relativa a BC
3. r è parallela ad AB
4. $H in r$
5. $m \bot BC$
6. $C = m nn BC$
7. $P = r nn m$
Tesi: AHCP è un rettangolo.
Dimostrazione
$AHB~=PCH$, per il II° criterio di congruenza dei triangoli rettangoli (congruenza dei cateti e degli angoli acuti corrispondenti), per Ip. 1, 2, 5 e perchè $A\hat BH~=P\hat HC$ perchè corrispondenti delle rette parallele r ed AB tagliate dalla trasversale BC. Da ciò deduco che $AB~=HP$ e $AH~=PC$.
Passo quindi a mostrare che $AHB~=HAP$, per il I° criterio di congruenza dei triangoli. Infatti AH è comune ad entrambi, $AB~=HP$ per la dimostrazione precedente e $A\hat HP~=H\hat AB$ perchè alterni interni delle rette parallele r ed AB tagliate dalla trasversale AH. Deduco, quindi, che $BH~=AP$. Ora, per Ip. 1 e 2 AH è anche mediana e quindi $BH~=HC$. Da cui $HC~=AP$ per transitività.
Ora possiamo affermare che AHCP è un parallelogramma (lati opposti congruenti). Inoltre, essendo $H\hat CP$ retto per Ip. 5, ciò è sufficiente per affermare che AHCP è un rettangolo.
Nel triangolo ABC, isoscele sulla base BC, traccia l'altezza AH e la parallela r per H al lato AB. La perpendicolare m per C a BC interseca tale parallela in P. Dimostra che AHCP è un rettangolo.
Ipotesi:
1. ABC è un triangolo isoscele
2. AH è altezza relativa a BC
3. r è parallela ad AB
4. $H in r$
5. $m \bot BC$
6. $C = m nn BC$
7. $P = r nn m$
Tesi: AHCP è un rettangolo.
Dimostrazione
$AHB~=PCH$, per il II° criterio di congruenza dei triangoli rettangoli (congruenza dei cateti e degli angoli acuti corrispondenti), per Ip. 1, 2, 5 e perchè $A\hat BH~=P\hat HC$ perchè corrispondenti delle rette parallele r ed AB tagliate dalla trasversale BC. Da ciò deduco che $AB~=HP$ e $AH~=PC$.
Passo quindi a mostrare che $AHB~=HAP$, per il I° criterio di congruenza dei triangoli. Infatti AH è comune ad entrambi, $AB~=HP$ per la dimostrazione precedente e $A\hat HP~=H\hat AB$ perchè alterni interni delle rette parallele r ed AB tagliate dalla trasversale AH. Deduco, quindi, che $BH~=AP$. Ora, per Ip. 1 e 2 AH è anche mediana e quindi $BH~=HC$. Da cui $HC~=AP$ per transitività.
Ora possiamo affermare che AHCP è un parallelogramma (lati opposti congruenti). Inoltre, essendo $H\hat CP$ retto per Ip. 5, ciò è sufficiente per affermare che AHCP è un rettangolo.
Risposte
Ciao. La tua dimostrazione è rigorosa, ma credo non sia la più rapida. Si poteva procedere così:
$ A\hatBC = B\hatCA $ poichè angoli alla base del triangolo isoscele $ABC$
$ A\hatBC = P\hatHC $ poichè angoli corrispondenti formati dalle rette parallele $AB$ e $PH$ rispetto alla trasversale $BC$
Allora $ P\hatHC = B\hatCA $
$ AHC=HCP $ per il II criterio d'uguaglianza dei triangoli, avendo il lato $ HC $ in comune, un angolo retto e $ P\hatHC = B\hatCA $
$ AH=CP $ poichè lati omologhi di triangoli uguali
$ AH $ e $ CP $ sono paralleli, perchè perpendicolari alla stessa retta
In conclusione il quadrilatero $ AHCP $ è un parallelogrammo, perchè ha due lati paralleli e uguali. E' un rettangolo, poichè ha almeno un angolo retto.
$ A\hatBC = B\hatCA $ poichè angoli alla base del triangolo isoscele $ABC$
$ A\hatBC = P\hatHC $ poichè angoli corrispondenti formati dalle rette parallele $AB$ e $PH$ rispetto alla trasversale $BC$
Allora $ P\hatHC = B\hatCA $
$ AHC=HCP $ per il II criterio d'uguaglianza dei triangoli, avendo il lato $ HC $ in comune, un angolo retto e $ P\hatHC = B\hatCA $
$ AH=CP $ poichè lati omologhi di triangoli uguali
$ AH $ e $ CP $ sono paralleli, perchè perpendicolari alla stessa retta
In conclusione il quadrilatero $ AHCP $ è un parallelogrammo, perchè ha due lati paralleli e uguali. E' un rettangolo, poichè ha almeno un angolo retto.
Ma non occorre mostrare che anche i lati HC e AP sono congruenti prima di poter affermare che il quadrilatero AHCP è un parallelogramma? Oppure mi sfugge qualcosa?
Grazie.
Grazie.
Dipende da che teoremi dai per noti.
Dalla defininizione, per dimostrare che un quadrilatero è un parallelogrammo devi fare vedere che ha due coppie di lati paralleli.
Un teorema, che è quello che usi tu, dice che: se un quadrilatero ha due coppie di lati uguali, allora è un parallelogrammo.
Io ho usato un altro teorema che dice che: se un quadrilatero ha due lati paralleli e uguali, allora è un parallelogrammo.
Esistono altri teoremi di questo tipo, ad esempio:
Se in un quadrilatero le diagonali si bisecano scambievolmente, allora è un parallelogrammo.
Se un quadilatero ha due coppie di angoli opposti congruenti, allora è un parallelogrammo.
Dalla defininizione, per dimostrare che un quadrilatero è un parallelogrammo devi fare vedere che ha due coppie di lati paralleli.
Un teorema, che è quello che usi tu, dice che: se un quadrilatero ha due coppie di lati uguali, allora è un parallelogrammo.
Io ho usato un altro teorema che dice che: se un quadrilatero ha due lati paralleli e uguali, allora è un parallelogrammo.
Esistono altri teoremi di questo tipo, ad esempio:
Se in un quadrilatero le diagonali si bisecano scambievolmente, allora è un parallelogrammo.
Se un quadilatero ha due coppie di angoli opposti congruenti, allora è un parallelogrammo.
Ho capito, grazie mille e buona notte.
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