Dimostrazione proprietà dei punti simmetrici del piano
Buon giorno...stavo studiando geometria analitica, e nel mio libro tale proprietà è enunciata senza dimostrazone:
"Siano P e P' due punti simmetrici rispetto alla bisettrice del I-III quadrante. Allora se P = (x,y) si deve avere P'=(y,x)"
Ho voluto cimentarmi nella dimostrazione (perchè odio sorbirmi le cose quando non sono motivate). Ma ho avuto qualche difficoltà...
Ho tracciato il piano cartesiano, la bisettrice, i punti P e P', le proiezioni di P OV e OM e le proiezioni di P' OT e OF. Ho chiamato Q il punto di intersezione tra la bisettrice e il segmento PP', e ho chiamato R l'intersezione tra MP e P'T. Dalla definizione di simmetria si ha ovviamente P'Q = QP, e inoltre RQ risulta altezza. Si ha quindi P'RP isoscele, e pertanto P'R = RP. Inoltre RP è bisettrice, quindi l'angolo retto P'RP è diviso in due angoli congruenti di 45 gradi ciascuno. Essendo la bisettrice il luogo dei punti equidistanti dai lati dell'angolo,ne consegue subito che MR = RT, perchè distanze di R dai due assi. MROT è dunque quadrato, Per mezzo di addizioni e sottrazioni di lati è ora facile conseguire la tesi, ma il procedimento non mi sembra corretto perchè mi chiedevo...CHI MI GARANTISCE che l'intersezione tra MP e P'T APPARTENGA alla BISETTRICE del I-III quadrante? Questo infatti non si verifica sempre, ma solo in questo caso particolare...ed è un particolare essenziale per la correttezza della dimostrazione...
"Siano P e P' due punti simmetrici rispetto alla bisettrice del I-III quadrante. Allora se P = (x,y) si deve avere P'=(y,x)"
Ho voluto cimentarmi nella dimostrazione (perchè odio sorbirmi le cose quando non sono motivate). Ma ho avuto qualche difficoltà...
Ho tracciato il piano cartesiano, la bisettrice, i punti P e P', le proiezioni di P OV e OM e le proiezioni di P' OT e OF. Ho chiamato Q il punto di intersezione tra la bisettrice e il segmento PP', e ho chiamato R l'intersezione tra MP e P'T. Dalla definizione di simmetria si ha ovviamente P'Q = QP, e inoltre RQ risulta altezza. Si ha quindi P'RP isoscele, e pertanto P'R = RP. Inoltre RP è bisettrice, quindi l'angolo retto P'RP è diviso in due angoli congruenti di 45 gradi ciascuno. Essendo la bisettrice il luogo dei punti equidistanti dai lati dell'angolo,ne consegue subito che MR = RT, perchè distanze di R dai due assi. MROT è dunque quadrato, Per mezzo di addizioni e sottrazioni di lati è ora facile conseguire la tesi, ma il procedimento non mi sembra corretto perchè mi chiedevo...CHI MI GARANTISCE che l'intersezione tra MP e P'T APPARTENGA alla BISETTRICE del I-III quadrante? Questo infatti non si verifica sempre, ma solo in questo caso particolare...ed è un particolare essenziale per la correttezza della dimostrazione...
Risposte
Per costruzione la retta passante per $OQ$ è l'asse del segmento $PP'$, e quindi è il luiogo dei punti equidistanti dagli estremi $P$ e $P'$. Pertanto se esiste un $R$ tale che $RP=RP'$, esso deve far parte dell'asse.
no, non ci siamo capiti....il pezzo mancante del puzzle è dimostrare che OR e RQ sono allineati...infatti basta che le ipotesi vengano meno che R non fa piu parte della bisettrice:(
Ho tracciato il piano cartesiano, la bisettrice, i punti P e P'
Penso che con questo si intenda che il segmento OQ appartenga all'asse del segmento PP'.
Si ha quindi P'RP isoscele, e pertanto P'R = RP
Arrivati a questo punto, ribadendo quanto già affermato, anche R è sull'asse, per cui O, R e Q giacciono sulla stessa retta.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo
