Dimostrazione polinomio
Dimostrare che il polinomio
$p(x)=(x-2)(x-4)(x-6)(x-8)+2$
ha 4 radici reali.
Allora, mi piacerebbe molto risolverlo con voi; vi chiedo, se possibile, di portarmi alla soluzione attraverso i miei dubbi, così da capire come devo ragionare. Grazie davvero!
Per prima cosa, non ho ben chiaro il significato di "radici di un polinomio". So che le radici di un'equazione sono le soluzioni dell'equazione, ma come può un polinomio avere soluzioni? Forse si considera quel polinomio uguale a zero...
Se così fosse, ovviamente il teorema fondamentale dell'algebra mi dice che questa equazione di quarto grado ha 4 soluzioni nell'insieme dei numeri complessi, il che però non mi aiuta a dire che le 4 soluzioni siano reali. Allora ho banalmente pensato di cercare di risolvere l'equazione, e trovare le 4 radici reali...
Che ne dite?
$p(x)=(x-2)(x-4)(x-6)(x-8)+2$
ha 4 radici reali.
Allora, mi piacerebbe molto risolverlo con voi; vi chiedo, se possibile, di portarmi alla soluzione attraverso i miei dubbi, così da capire come devo ragionare. Grazie davvero!
Per prima cosa, non ho ben chiaro il significato di "radici di un polinomio". So che le radici di un'equazione sono le soluzioni dell'equazione, ma come può un polinomio avere soluzioni? Forse si considera quel polinomio uguale a zero...
Se così fosse, ovviamente il teorema fondamentale dell'algebra mi dice che questa equazione di quarto grado ha 4 soluzioni nell'insieme dei numeri complessi, il che però non mi aiuta a dire che le 4 soluzioni siano reali. Allora ho banalmente pensato di cercare di risolvere l'equazione, e trovare le 4 radici reali... Che ne dite?
Risposte
"elios":
Dimostrare che il polinomio
$p(x)=(x-2)(x-4)(x-6)(x-8)+2$
ha 4 radici reali.
Allora, mi piacerebbe molto risolverlo con voi; vi chiedo, se possibile, di portarmi alla soluzione attraverso i miei dubbi, così da capire come devo ragionare. Grazie davvero!
Per prima cosa, non ho ben chiaro il significato di "radici di un polinomio". So che le radici di un'equazione sono le soluzioni dell'equazione, ma come può un polinomio avere soluzioni? Forse si considera quel polinomio uguale a zero...
Che ne dite?
Una radice è uno zero del polinomio. Cioè porre P(x)=0.
Vedrai che ha 4 risultati.
Credo che provare a risolvere l'equazione sia un lavoro molto complicato e non sono sicura di ottenere dei risultati in quanto sembra proprio che Ruffini non riesca a darci una mano, allora io partirei così:
Quando $x<2$ il polinomio assume un valore sicuramente positivo in quanto prodotto di 4 fattori negativi a cui si aggiunge 2
anche per $x=2$ si ha $P(2)>0$, invece $P(3)<0$, quindi sicuramente il polinomio si dovrà annullare in un valore reale compreso tra 2 e 3
invece $P(4)>0$, quindi tra 3 e 4 si annulla di nuovo. Andando avanti a sostituire trovo che $P(6)>0$ mentre $P(7)<0$ quindi ci sarà uno zero del polinomio anche tra 6 e 7, infine $P(8)>0$ quindi un altro zero del polinomio tra 7 e 8.
L'esercizio finisce qui perché come giustamente hai detto tu il teorema fondamentale dell'algebra mi garantisce 4 soluzioni complesse, né una di più né una di meno, e fino a qui ne abbiamo trovate proprio 4, ricordo che il testo del problema è dimostrare che ci sono 4 soluzioni, nessuno ci chiede di trovarle:
$2
Nella dimostrazione ho usato implicitamente il fatto che un polinomio è una funzione continua senza citarlo perché ho supposto che non conoscessi le funzioni continue, ma che un polinomio sia una funzione continua è abbastanza intuitivo, sicuramente lo è molto di più della definizione di funzione continua.
Quando $x<2$ il polinomio assume un valore sicuramente positivo in quanto prodotto di 4 fattori negativi a cui si aggiunge 2
anche per $x=2$ si ha $P(2)>0$, invece $P(3)<0$, quindi sicuramente il polinomio si dovrà annullare in un valore reale compreso tra 2 e 3
invece $P(4)>0$, quindi tra 3 e 4 si annulla di nuovo. Andando avanti a sostituire trovo che $P(6)>0$ mentre $P(7)<0$ quindi ci sarà uno zero del polinomio anche tra 6 e 7, infine $P(8)>0$ quindi un altro zero del polinomio tra 7 e 8.
L'esercizio finisce qui perché come giustamente hai detto tu il teorema fondamentale dell'algebra mi garantisce 4 soluzioni complesse, né una di più né una di meno, e fino a qui ne abbiamo trovate proprio 4, ricordo che il testo del problema è dimostrare che ci sono 4 soluzioni, nessuno ci chiede di trovarle:
$2
Nella dimostrazione ho usato implicitamente il fatto che un polinomio è una funzione continua senza citarlo perché ho supposto che non conoscessi le funzioni continue, ma che un polinomio sia una funzione continua è abbastanza intuitivo, sicuramente lo è molto di più della definizione di funzione continua.
Grazie! Io in effetti stavo lavorando con l'equazione e ho tentato di scomporla senza successo...
Ho capito il tuo procedimento, solo una cosa: il fatto che la soluzione sia compresa tra 2 e 3, poi tra 3 e 4, e cosi via, ci assicura per forza di cose che la x sia un numero reale, vero? In effetti, non credo che un numero complesso possa essere compreso tra due numeri reali.. Grazie!
Ho capito il tuo procedimento, solo una cosa: il fatto che la soluzione sia compresa tra 2 e 3, poi tra 3 e 4, e cosi via, ci assicura per forza di cose che la x sia un numero reale, vero? In effetti, non credo che un numero complesso possa essere compreso tra due numeri reali..
Grazie!
"elios":
il fatto che la soluzione sia compresa tra 2 e 3, poi tra 3 e 4, e cosi via, ci assicura per forza di cose che la x sia un numero reale, vero?
Esattamente!
"elios":
Grazie! Io in effetti stavo lavorando con l'equazione e ho tentato di scomporla senza successo...
Sì, gli ho dato un occhiata e, se non ho fatto errori, è irriducibile in $QQ$ per il criterio di Eisenstein.
Quindi, sempre che non abbia fatto errori, sono tutte irrazionali.
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