Dimostrazione per induzione: esercizio

[silente1]

Questo topic è stato quasi per intero riscritto per renderne (spero) più chiara l’esposizione eliminando tutte le complicazioni inessenziali che vi si trovavano.

Questo esercizio mi ha già irritato abbastanza. SOS

Traggo da Cuorant Robbins, pag 56, esercizio 4

Dimostrare per induzione che
$(1+q)(1+q^2)(1+q^4)ldots(1+q^(2n))=(1-q^(2^(n+1)))/(1-q)$

(Tentativo di) DIMOSTRAZIONE

$P_1=(1+q)(1+q^2)=(1-q(2(1+1)))/(1-q)$ è vera

Resta da dimostrare il passo induttivo $P_nrArrP_(n+1)$ cioè
$P_n:$ $(1+q)(1+q^2)(1+q^4)ldots(1+q^(2n))=(1-q(2^(n+1)))/(1-q)$

Moltiplicando entrambi i membri per $(1+q(2n+2))$ segue
$P_nrArr$ $(1+q)(1+q^2)(1+q^4)ldots(1+q^(2n))(1+q(2n+2))=((1-q(2^(n+1)))/(1-q))(1+q(2n+2))$

$=((1-q(2^(n+1)))/(1-q))(1+q(2n+2))$ questa espressione dovrebbe coincidere con $P_(n+1)$ ma così non è, infatti
$P_(n+1)= (1-q(2^(n+2)))/(1-q)$

Se le due espressioni sopra fossero uguali potremmo scrivere
$=((1-q(2^(n+1)))/(1-q))(1+q(2n+2)) = (1-q(2^(n+2)))/(1-q)$
$=((1-q(2^(n+1)))/(1-q))(1+q(2n+2)) = (1-q(2^(n+1)))(1+q^(2^(n+1))/(1-q))$
$=q^(2n+2) $ = $ q^(2^(n+1))$ che ovviamente è falso


P.S. non ho postato questo esercizio nel Topic "Che cos'è la matematica?" aperto da Pippo93 che sarebbe la sua naturale collocazione.
Forse lui ha inteso (o forse è meglio) utilizzarolo per questioni concettuali e non so se inondandolo di esercizi si rischia di appesantirlo troppo.
Voi che ne dite?
Grazie

[@melia]

"silente":Questo esercizio mi ha già irritato abbastanza. SOSTraggo da Cuorant Robbins, pag 56, esercizio 4
Dimostrare per induzione che
$(1+q)(1+q^2)(1+q^4)ldots(1+q^(2n))=(1-q^(2^(n+1)))/(1-q)$

Questa cosa è impossibile da dimostrare in quanto è sbagliata!

La forma corretta è $(1+q)(1+q^2)(1+q^4)ldots(1+q^(2^n))=(1-q^(2^(n+1)))/(1-q)$ che sarebbe $(1+q^(2^0))(1+q^(2^1))(1+q^(2^2))ldots(1+q^(2^n))=(1-q^(2^(n+1)))/(1-q)$
$P(0)$ è vera $AA q!=1 $ si ha $ (1+q^(2^0))=(1-q^2)/(1-q)=>1+q=((1-q)(1+q))/(1-q)$

$P(n+1)$ diventa $(1+q^(2^0))(1+q^(2^1))(1+q^(2^2))ldots(1+q^(2^n))(1+q^(2^(n+1)))=$ (posta la verità di P(n)) $=(1-q^(2^(n+1)))/(1-q)(1+q^(2^(n+1)))=(1-q^(2^(n+1))+q^(2^(n+1))-q^(2^(n+1)+2^(n+1)))/(1-q)=$
$=(1-q^(2*(2^(n+1))))/(1-q)=(1-q^(2^(n+2)))/(1-q)$ e quindi è verificata la verità di $P(n+1)$ $AA q!=1$

[silente1]

Grazie 1000 Amelia.
Ci avevo proprio fatto la testa.