Dimostrazione per induzione
Salve a tutti!
Vorrei dimostrare per induzione che la derivata ennesima della funzione $f(x)=xe^x$ è $f^(n)(x)=e^(x)(x+n)$. Vi illustro la strategia a cui ho pensato:
1) Si verifica se la formula è vera per $n=1$, e lo è.
2) Si suppone vera per $n=k$ (ipotesi induttiva). Se per $n=k$ la formula è vera, sarà vera anche per $n=k+1$.
Non sono riuscito a portare avanti il punto 2) in quanto non so come comportarmi con il calcolo della derivata... qualcuno può darmi qualche suggerimento?
Grazie
Andrea.
Vorrei dimostrare per induzione che la derivata ennesima della funzione $f(x)=xe^x$ è $f^(n)(x)=e^(x)(x+n)$. Vi illustro la strategia a cui ho pensato:
1) Si verifica se la formula è vera per $n=1$, e lo è.
2) Si suppone vera per $n=k$ (ipotesi induttiva). Se per $n=k$ la formula è vera, sarà vera anche per $n=k+1$.
Non sono riuscito a portare avanti il punto 2) in quanto non so come comportarmi con il calcolo della derivata... qualcuno può darmi qualche suggerimento?
Grazie
Andrea.
Risposte
qual è la derivata rispetto ad $x$ di $e^x(x+k)$ ?
$e^x(x+k)+e^x(1)=e^x(x+k+1)$
ok?
$e^x(x+k)+e^x(1)=e^x(x+k+1)$
ok?
Semplicemente questo?! Bisognava semplicemente derivare la proposizione che costituisce l'ipotesi induttiva...!
Grazie!
Grazie!
prego!
quello che vuoi dimostrare riguarda la derivata n-esima.
e la derivata n-esima, rispetto al "passo" precedente (che era la derivata (n-1)-esima), non è per caso la derivata prima?
quello che vuoi dimostrare riguarda la derivata n-esima.
e la derivata n-esima, rispetto al "passo" precedente (che era la derivata (n-1)-esima), non è per caso la derivata prima?
Si infatti! Avevo pensato a questa soluzioni, solo che mi sembrava troppo semplice!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo