Dimostrazione (luoghi geometrici)

[alfredo14]

Credo che questa dimostrazione sia corretta ma ho qualche dubbio. Mi piacerebbe averne la conferma.
Grazie.

Ipotesi:
1. ABC è isoscele di vertice C
2. AK e BH sono altezze
3. $E=AKnnnBH$
4. $r\botAC$ e passante per A
5. $s\botBC$ e passante per B
6. $F=rnnns$

Tesi
C, E ed F sono allineati

Dim.
(i) $DeltaAKB~=Delta BHA$ perchè AB è comune, per ipotesi 1 e 2. Deduco che $\hat{KAB}~=\hat{HBA}$. Quindi $DeltaAEB$ è isoscele.
(ii) Traccio il segmento CF. $DeltaCBF~=Delta CAF$ perchè triangoli rettangoli con ipotenuse congruenti ed eguale cateto. Deduco che $AF~=FB$. $DeltaABF$ è quindi isoscele.
Quindi, per ipotesi 1, per (i) e per (ii) i punti C, E ed F equidistano da A e da B. Essi appartengono quindi all'asse del segmento AB e ciò soddisfa la tesi.

[G.D.5]

Per me è OK.

[nontrivialzero]

Forse va bene, ma sono fissato con la semplicità. Consideriamo i triangoli rettangoli $AFC$ e $CBF$, sono uguali per via dell'ipotenusa in comune e i cateti $AC$ e $CB$ congruenti per ipotesi. Quindi $F$ si trova sul prolungamento dell'altezza di $ABC$ relativa alla base, è altresì noto che in un triangolo isoscele anche l'ortocento cade sull'altezza relativa alla base; pertanto $CEF$ sono allineati perchè giacenti sulla stessa retta.

[alfredo14]

Si, hai ragione, è molto più semplice.
Credo, comunque, che trattandosi di un esercizio proposto al termine dell'argomento sui luoghi geometrici l'ideatore volesse spingere il solutore ad usare quei teoremi (assi di segmenti e bisettrici, in sostanza).

Grazie per l'alternativa, comunque. Molto elegante.

[nontrivialzero]

No hai ragione tu, sono esercizi per assimilare la geometria, meglio considerare un po tutto. Non fateci caso, come dicono a Roma ho la tendenza a fare lo splendido..!