[DIMOSTRAZIONE] La Circonferenza: i due diametri

[ian.101]

Ebbene sì, non ce la faccio.

Dimostrare che se due corde di una circonferenza s'incontrano nel loro punto medio esse sono diametri.

Inizialmente avevo ipotizzato (per assurdo) che esse non passassero per il centro, ma dopo mi sono bloccato. Come continuare? Non ci riesco. Mi sembra un ovvietà: ogni corda è formata da due raggi (insomma...), ma come "spiegarlo"?
Bah, idee?

[perplesso1]

La butto lì... disegna il poligono che ha le due corde per diagonali e usando i criteri di congruenza dei triangoli mostra che è un rettangolo...

[giannirecanati]

Io lo farei ragionando per assurdo. Vediamola così: disegniamo due corde \(\displaystyle AB \)e \(\displaystyle CD \) non passanti per il centro e supponiamo che incontrino nel loro punto medio \(\displaystyle M \). Tracciamo il diametro passante per il punto medio e ragioniamo. Per il teorema secondo cui il diametro passante per il punto medio di una corda è perpendicolare alla corda stessa deduciamo che: \(\displaystyle d \perp AB \) e \(\displaystyle d \perp CD \) ma ciò è impossibile altrimenti avremmo \(\displaystyle AB || CD \) che contraddirebbe l'ipotesi dell'incidenza delle due corde. Le uniche corde che hanno in comune il loro punto medio sono i diametri ed il punto in questione è il centro \(\displaystyle O \) della circonferenza. Il perchè questo è vero si capisce dalla definizione di diametro, ovvero il doppio del raggio.