Dimostrazione geometrica pentagono
Es 113 pag 605
Sia ABCDE un pentagono regolare. Indica con F il punto di intersezione dei prolungamenti dei lati ED e BC. Dimostra che i triangoli EBD e DFC sono congruenti.
Mi servirebbe una dimostrazione esclusivamente geometrica, non m'interessa ottenerla tramite la misura degli angoli.
Sia ABCDE un pentagono regolare. Indica con F il punto di intersezione dei prolungamenti dei lati ED e BC. Dimostra che i triangoli EBD e DFC sono congruenti.
Mi servirebbe una dimostrazione esclusivamente geometrica, non m'interessa ottenerla tramite la misura degli angoli.
Risposte
Ciao, cerco di spiegarti questa dimostrazione.
Ti anticipo che la dimostrazione è prettamente geometrica, però devi tener conto di alcuni dati numerici che caratterizzano il pentagono regolare.
Ipotesi:
ABCDE è un pentagono regolare
Tesi
I triangoli EDB e DCF sono congruenti
Dimostrazione
I due triangoli in questione hanno i lati
poiché lati del pentagono regolare.
Inoltre la somma degli angoli interni del pentagono è data da:
S = (n -2) 180
dove n = 5
quindi
S = 540
ed ogni angolo interno del pentagono risulta essere uguale a 108.
Il triangolo EDB risulta essere isoscele in quanto due suoi lati sono due diagonali del pentagono regolare (quindi uguali), per cui risulteranno uguali gli angoli
Inoltre essendo isosceli e congruenti i triangoli DCB e EBA, con angoli al vertice in C ed in A, rispettivamente, uguali a 108, si ha che l’angolo
Per differenza si calcolano gli angoli FCD ed FDC:
FCD = 180 – 36 -72 = 72
FDC = 180 – 36 -72 = 72
Quindi i due triangoli EDB e DCF sono congruenti per il secondo principio di congruenza dei triangoli.
Analogamente potresti dimostrare che i triangoli BFD ed ECF sono isosceli e congruenti e conseguentemente ne risulta verificata la tesi imposta dall’esercizio, ma anche on questo caso dovresti tener conto dei valori numerici degli angoli.
Se ha dubbi, chiedi pure.
Ti anticipo che la dimostrazione è prettamente geometrica, però devi tener conto di alcuni dati numerici che caratterizzano il pentagono regolare.
Ipotesi:
ABCDE è un pentagono regolare
Tesi
I triangoli EDB e DCF sono congruenti
Dimostrazione
I due triangoli in questione hanno i lati
[math]
\bar{ED} = \bar{DC}
[/math]
\bar{ED} = \bar{DC}
[/math]
poiché lati del pentagono regolare.
Inoltre la somma degli angoli interni del pentagono è data da:
S = (n -2) 180
dove n = 5
quindi
S = 540
ed ogni angolo interno del pentagono risulta essere uguale a 108.
Il triangolo EDB risulta essere isoscele in quanto due suoi lati sono due diagonali del pentagono regolare (quindi uguali), per cui risulteranno uguali gli angoli
[math]
DEB = BED = \alpha
[/math]
DEB = BED = \alpha
[/math]
Inoltre essendo isosceli e congruenti i triangoli DCB e EBA, con angoli al vertice in C ed in A, rispettivamente, uguali a 108, si ha che l’angolo
[math]
\alpha = 72.
[/math]
\alpha = 72.
[/math]
Per differenza si calcolano gli angoli FCD ed FDC:
FCD = 180 – 36 -72 = 72
FDC = 180 – 36 -72 = 72
Quindi i due triangoli EDB e DCF sono congruenti per il secondo principio di congruenza dei triangoli.
Analogamente potresti dimostrare che i triangoli BFD ed ECF sono isosceli e congruenti e conseguentemente ne risulta verificata la tesi imposta dall’esercizio, ma anche on questo caso dovresti tener conto dei valori numerici degli angoli.
Se ha dubbi, chiedi pure.
Sarebbe stata meno macchinosa la dimostrazione di Anna Supermath, ma siccome hai chiesto una dimostrazione esclusivamente geometrica...
https://linksharing.samsungcloud.com/lUtJh968AZln
-Nota: per tagliare corto ho scritto ''C e D si trovano alla stessa distanza''.
Tuttavia, il parallelismo attribuito alla 'distanza' e' un po' una forzatura: la distanza si misura perpendicolarmente. Bisognerebbe costruire due triangoli rettangoli …
Di base pero' e' corretta l’affermazione.
https://linksharing.samsungcloud.com/lUtJh968AZln
-Nota: per tagliare corto ho scritto ''C e D si trovano alla stessa distanza''.
Tuttavia, il parallelismo attribuito alla 'distanza' e' un po' una forzatura: la distanza si misura perpendicolarmente. Bisognerebbe costruire due triangoli rettangoli …
Di base pero' e' corretta l’affermazione.
Grazie ad entrambi! Neanche al nostro prof veniva in mente un modo per risolvere l'esercizio in maniera esclusivamente geometrica, senza usare la mosura degli angoli
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