Dimostrazione geometrica!
Nel triangolo isoscele ABC prendi, sulla base AB, due punti P e Q. Traccia da P le parallele ad AC e a CB; esse intersecano rispettivamente CB in E e AC in F. Analogamente, conduci da Q le parallele ai lati; esse intersecano rispettivamente CB in R e AC in S. Dimostra che il perimetro di PECF è uguale al perimetro di QRCS.
Qui ho fatto il disegno : http://learnwithus.altervista.org/alterpages/files/eserciziogeometria.pdf
PS: nel disegno il punto D in realtà è il punto P
Qui ho fatto il disegno : http://learnwithus.altervista.org/alterpages/files/eserciziogeometria.pdf
PS: nel disegno il punto D in realtà è il punto P
Risposte
e nel disegno il punto B e il punto C sono invertiti visto che la base dovrebbe essere AB!
Quindi, con le tue lettere, dovremo dimostrare che i perimetri dei due quadrilateri FDBE e BSQR sono uguali....
(ti consiglio quando fai i disegni, oltre al fatto di stare attento alle lettere, di evitare di creare situazioni facilmente dubbie.. Nel tuo disegno, P e Q hanno distanze dai vertici A e B (che tu hai chiamato C) molto simili, e questo ti potrebbe portare a fare conclusioni distorte dal disegno)
Detto questo:
Considera il triangolo "D" Q con vertice nel punto di intersezione tra DE e QS (che chiameremo K)
Esso e' isoscele in quanto gli angoli alla base sono congruenti a quelli del triangolo ABC (le rette DE e QS sono parallele ai lati del triangolo)
Quindi avremo che DK=QK
E siccome i lati dei quadrilateri di cui devi trovare i perimetri, sono paralleli a due a due (per ipotesi) diremo anche che FS = ER
Considera che abbiamo 3 rette parallele (AB DE QR) che si incontrano con altre 3 rette parallele (BC QS DF), dando pertanto vita a una serie di parallelogrammi (ovvero FDBE e BSQR ma anche FDSK , BESK, EKQR)
Ora ci rimane, per dimostrare la tesi, da verificare se e' vero che BS+BE+EK+FD = RQ + BS +BE + SK
che equivale (siccome BS=BS e BE=BE ovvero sono parti comuni ai due perimetri) a dimostrare che
EK+FD=RQ+BE
ma siccome abbiamo detto che i due quadrilateri sono parallelogrammi, sara' vero che EK=RQ e che FD=BE
E quindi i perimetri sono uguali in quanto somma di segmenti congruenti
Quindi, con le tue lettere, dovremo dimostrare che i perimetri dei due quadrilateri FDBE e BSQR sono uguali....
(ti consiglio quando fai i disegni, oltre al fatto di stare attento alle lettere, di evitare di creare situazioni facilmente dubbie.. Nel tuo disegno, P e Q hanno distanze dai vertici A e B (che tu hai chiamato C) molto simili, e questo ti potrebbe portare a fare conclusioni distorte dal disegno)
Detto questo:
Considera il triangolo "D" Q con vertice nel punto di intersezione tra DE e QS (che chiameremo K)
Esso e' isoscele in quanto gli angoli alla base sono congruenti a quelli del triangolo ABC (le rette DE e QS sono parallele ai lati del triangolo)
Quindi avremo che DK=QK
E siccome i lati dei quadrilateri di cui devi trovare i perimetri, sono paralleli a due a due (per ipotesi) diremo anche che FS = ER
Considera che abbiamo 3 rette parallele (AB DE QR) che si incontrano con altre 3 rette parallele (BC QS DF), dando pertanto vita a una serie di parallelogrammi (ovvero FDBE e BSQR ma anche FDSK , BESK, EKQR)
Ora ci rimane, per dimostrare la tesi, da verificare se e' vero che BS+BE+EK+FD = RQ + BS +BE + SK
che equivale (siccome BS=BS e BE=BE ovvero sono parti comuni ai due perimetri) a dimostrare che
EK+FD=RQ+BE
ma siccome abbiamo detto che i due quadrilateri sono parallelogrammi, sara' vero che EK=RQ e che FD=BE
E quindi i perimetri sono uguali in quanto somma di segmenti congruenti
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