Dimostrazione geometria (rotazioni)

[HowardRoark]

Disegna un quadrato $OABC$ e un triangolo equilatero $OAD$ interno al quadrato. Costruisci esternamente al quadrato i triangoli equilateri $ABE$ e $ACF$, in modo che $F$ sia dalla parte opposta a $B$ rispetto al vertice $O$.

1) Cosa puoi affermare sui punti $B$, $O$, $F$?

2) Dimostra che i punti $C$ $D$ $E$ sono allineati.



Se ho capito bene, la costruzione del triangolo equilatero $ACF$ dovrebbe avere come base la diagonale $AC$ del quadrato $OABC$.

Sul quesito 1 io direi che il punto $B$ è il corrispondente di $O$ rispetto a una rotazione di $180°$ e come centro il punto di incontro delle diagonali. Inoltre $B$, $O$, $F$, sono allineati. Che $B$ e $O$ lo siano è ovvio: appartengono alla stessa diagonale. Riguardo $F$ io lo dimostrerei così:il punto $F$ è allineato rispetto alla diagonale $BO$ se a una rotazione di $F$ di $180°$ di centro $O$ corrisponde un punto $F'$ che appartiene alla diagonale.


Il quesito 2 lo dimostrerei analogamente a quanto ho fatto nel quesito 1: i punti $C$, $D$, $E$ sono allineati se esiste un punto medio $M$ di $CD$ e un punto medio $M'$ di $DE$ tale che una rotazione di $C$ di $180°$ con centro $M$ dia come corrispondente $D$ e una rotazione di $D$ di $180°$ con centro $M'$ dia come corrispondente $E$.


Le dimostrazioni possono andare bene?

[mgrau]

"HowardRoark":Che $B$ e $O$ lo siano è ovvio

Strana frase: due punti sono SEMPRE allineati (è uno dei postulati di Euclide)

"HowardRoark":il punto $F$ è allineato rispetto alla diagonale $BO$ SE a una rotazione di $F$ di $180°$ di centro $O$ corrisponde un punto $F'$ che appartiene alla diagonale.

E che dimostrazione è? Non dovresti dimostrare anche che la frase preceduta da SE è vera?
E questo vale anche per la seconda.

Ti suggerisco un'altra strada (per il secondo punto, il primo è evidente per la simmetria rispetto alla diagonale BO)

Dal punto D traccia la perpendicolare a BC che la incontra in H
Dal punto E anche, che incontra il prolungamento di BC in K
Devi dimostrare che i triangoli: CHD e CKE sono simili, il che permette di concludere che D sta sulla retta CE

[HowardRoark]

"mgrau":[quote="HowardRoark"]Che $B$ e $O$ lo siano è ovvio

Strana frase: due punti sono SEMPRE allineati (è uno dei postulati di Euclide)

"HowardRoark":il punto $F$ è allineato rispetto alla diagonale $BO$ SE a una rotazione di $F$ di $180°$ di centro $O$ corrisponde un punto $F'$ che appartiene alla diagonale.

E che dimostrazione è? Non dovresti dimostrare anche che la frase preceduta da SE è vera?
E questo vale anche per la seconda.

Ti suggerisco un'altra strada (per il secondo punto, il primo è evidente per la simmetria rispetto alla diagonale BO)

Dal punto D traccia la perpendicolare a BC che la incontra in H
Dal punto E anche, che incontra il prolungamento di BC in K
Devi dimostrare che i triangoli: CHD e CKE sono simili, il che permette di concludere che D sta sulla retta CE[/quote]

Tutto chiaro. In effetti la mia dimostrazione, anziché dimostrare la tesi, ne aggiungeva un'altra che poi, se dimostrata, come corollario dimostrava anche la prima.

Grazie!