Dimostrazione geometria: rettangolo.
Buonasera
Tempo fa su un compito mi è capitato questo esercizio facoltativo, di cui vi riporto a grandi linee il testo.
Sia dato un rettangolo ABCD e sia P un punto qualunque su CD: dimostrare che la somma delle distanze di P dalle diagonali del rettangolo è costante al variare della posizione del punto P su CD.
Ho disegnato la figura, una coppia di perpendicolari e ho trovato che gli angoli dei triangoli PQS, SCP e TOQ sono congruenti al variare di P (detti S e T i piedi delle perpendicolari condotte per P sulle diagonali, Q il punto d'incontro di una diagonale con PT e O il punto d'intersezione delle diagonali).
Sinceramente non so se ciò serva a qualcosa, però è l'unica che sia riuscito a cavare di qui. Ora mi rivolgo a voi non tanto per una soluzione bella e pronta, ma se qualcuno abbia tempo, voglia e pazienza di indirizzarmi man mano sulla strada giusta, poichè, a mio avviso, mi potrebbe tornare molto più utile in seguito.
Grazie per l'attenzione.
Aggiunto 1 giorni più tardi:
Grazie infinite BIT, molto chiaro ed esaustivo.
Alla dimostrazione usando la similitudine avevo pensato anch'io, l'unico problema sorge dal fatto che ancora non abbiamo trattato questo argomento, e pertanto non avevo idea di come applicarlo. Comunque sia, grazie mille di nuovo :D
Tempo fa su un compito mi è capitato questo esercizio facoltativo, di cui vi riporto a grandi linee il testo.
Sia dato un rettangolo ABCD e sia P un punto qualunque su CD: dimostrare che la somma delle distanze di P dalle diagonali del rettangolo è costante al variare della posizione del punto P su CD.
Ho disegnato la figura, una coppia di perpendicolari e ho trovato che gli angoli dei triangoli PQS, SCP e TOQ sono congruenti al variare di P (detti S e T i piedi delle perpendicolari condotte per P sulle diagonali, Q il punto d'incontro di una diagonale con PT e O il punto d'intersezione delle diagonali).
Sinceramente non so se ciò serva a qualcosa, però è l'unica che sia riuscito a cavare di qui. Ora mi rivolgo a voi non tanto per una soluzione bella e pronta, ma se qualcuno abbia tempo, voglia e pazienza di indirizzarmi man mano sulla strada giusta, poichè, a mio avviso, mi potrebbe tornare molto più utile in seguito.
Grazie per l'attenzione.
Aggiunto 1 giorni più tardi:
Grazie infinite BIT, molto chiaro ed esaustivo.
Alla dimostrazione usando la similitudine avevo pensato anch'io, l'unico problema sorge dal fatto che ancora non abbiamo trattato questo argomento, e pertanto non avevo idea di come applicarlo. Comunque sia, grazie mille di nuovo :D
Risposte
Il metodo piu' veloce che mi viene in mente e' il seguente.
Traccia i segmenti da P perpendicolari alle diagonali.
Chiama PQ il segmento - distanza dalla diagonale BC
e T il segmento distanza dalla diagonale AC
Considera i triangoli PDQ e PTC
i triangoli sono entrambi rettangoli, e hanno l'angolo QDP=TCP perche' le diagonali di un rettangolo formano 4 triangoli isoscele.
I triangoli PDQ e PTC sono simili, rettangoli, con DP e PC ipotenusa e PQ e PT cateti corrispondenti.
Possiamo concludere dunque che al variare di P, sara' costante il rapporto tra i lati corrispondenti del triangolo (ad esempio (e ci servira' piu' avanti) PT/PC costante.
Dobbiamo dimostrare che PQ + PT = k, con k costante
Ora ti posto il primo procedimento che mi e' venuto in mente, ma secondo me ce ne sono altri.
abbiamo detto che i triangoli sono simili.
Quindi e' vero che
applicando la proprieta' del comporre
ma DP+PC=DC ovvero alla base del rettangolo (che e' un dato fisso e non variabile e che chiamo b per comodita')
Ricaviamo dunque PQ+PT per vedere a cosa e' uguale (prodotto dei medi fratto la'ltro estremo)
PT/PC abbiamo detto che e' un rapporto costante, qualunque sia il punto P
b e' la base del rettangolo.
Pertanto PQ+PT e' costante ed e' pari al prodotto della base per la proporzione tra cateto e ipotenusa.
Non so se hai fatto trigonometria quindi mi fermo qua. Se mi viene in mente (e ho tempo) per un'altra dimostrazione, te la posto.
Aggiunto 4 minuti più tardi:
Se non vuoi utilizzare le proprieta' delle proporzioni....
Detta b la base del rettangolo, x la lunghezza DP e b-x la lunghezza PC
- Calcoli PT in funzione di PQ (chiamo PQ=y)
da cui
la somma PT+PQ sara'
x/y costante perche' dimensioni di infiniti triangoli simili, a costante
Traccia i segmenti da P perpendicolari alle diagonali.
Chiama PQ il segmento - distanza dalla diagonale BC
e T il segmento distanza dalla diagonale AC
Considera i triangoli PDQ e PTC
i triangoli sono entrambi rettangoli, e hanno l'angolo QDP=TCP perche' le diagonali di un rettangolo formano 4 triangoli isoscele.
I triangoli PDQ e PTC sono simili, rettangoli, con DP e PC ipotenusa e PQ e PT cateti corrispondenti.
Possiamo concludere dunque che al variare di P, sara' costante il rapporto tra i lati corrispondenti del triangolo (ad esempio (e ci servira' piu' avanti) PT/PC costante.
Dobbiamo dimostrare che PQ + PT = k, con k costante
Ora ti posto il primo procedimento che mi e' venuto in mente, ma secondo me ce ne sono altri.
abbiamo detto che i triangoli sono simili.
Quindi e' vero che
[math] PQ : PT = DP : PC [/math]
applicando la proprieta' del comporre
[math] (PQ + PT) : PT = (DP+PC) : PC [/math]
ma DP+PC=DC ovvero alla base del rettangolo (che e' un dato fisso e non variabile e che chiamo b per comodita')
Ricaviamo dunque PQ+PT per vedere a cosa e' uguale (prodotto dei medi fratto la'ltro estremo)
[math] PQ+PT = \frac{b \cdot PT}{PC} = b \cdot \frac{PT}{PC} [/math]
PT/PC abbiamo detto che e' un rapporto costante, qualunque sia il punto P
b e' la base del rettangolo.
Pertanto PQ+PT e' costante ed e' pari al prodotto della base per la proporzione tra cateto e ipotenusa.
Non so se hai fatto trigonometria quindi mi fermo qua. Se mi viene in mente (e ho tempo) per un'altra dimostrazione, te la posto.
Aggiunto 4 minuti più tardi:
Se non vuoi utilizzare le proprieta' delle proporzioni....
Detta b la base del rettangolo, x la lunghezza DP e b-x la lunghezza PC
- Calcoli PT in funzione di PQ (chiamo PQ=y)
[math] x : y = a-x : PT [/math]
da cui
[math] PT = \frac{y(a-x)}{x} = \frac{ay-xy}{x} [/math]
la somma PT+PQ sara'
[math] y+ \frac{ay-xy}{x} = \frac{xy+ay-ax}{x} = a \frac{y}{x} [/math]
x/y costante perche' dimensioni di infiniti triangoli simili, a costante
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