Dimostrazione Geometria (70481)

[Liliana96]

Per il vertice A del triangolo isoscele ABC, rettangolo in A, conduci una retta qualunque MN esterna al triangolo e siano BD e CE le distanze di B e di C da MN.
a. DImostra che BD+CE=DE
b. Nel caso particolare in cui CE=1/2 AC determina le misure degli angoli del quadrilatero BCDE.

[BIT5]

Considera i triangoli CEA e BDA

Essi sono simili. Infatti sono entrambi rettangoli.

Inoltre l'angolo EAC e l'angolo BAD sono complementari, quanto la loro somma sara' 90 (essendo EAD angolo piatto da cui sottraiamo l'angolo CAB, retto per ipotesi).

Pertanto l'angolo ECA, terzo angolo del triangolo CAE, retto in E, sara' anch'esso complementare dell'angolo EAC, pertanto uguale all'angolo BAD, in quanto complementari dello stesso angolo.

Analogamente dimostri che l'angolo ABD e' congruente con l'angolo CAE.

Essendo inoltre le ipotenuse dei triangolo CEA e ABD congruenti per i potesi (il triangolo CAB e' isoscele, quindi CA=AB) i due triangolo CAE e BAD sono, oltre a essere simili, anche congruenti

(per il criteri ALA (angolo lato angolo) ovvero il secondo criterio di congruenza)

Dunque abbiamo che EA=BD e CE=AD

Essendo DE=EA+AD viene da se' che EA+AD=CE+BD

b) Se CE=1/2AC il triangolo ACE e' un triangolo di angoli 30,60,90 (ovvero meta' di un triangolo equilatero).

Pertanto l'angolo ECA sara' 60 e l'angolo EAC sara'30.
Gli angoli del triangolo ABC erano 90,45,45

Quindi il quadrilatero avra':

angolo in E=90
angolo in D=90
angolo ECB=60+45=105
angolo CBD=30+45=75