Dimostrazione geometria
Tre rette non complanari $a$, $b$, $c$ intersecano il piano $alpha$ rispettivamente nei punti $A$, $B$, $C$, il piano $alpha'$, parallelo ad $alpha$, nei punti $A'$, $B'$, $C'$, e si intersecano nel punto $P$ esterno a entrambi i piani. Dimostra che i triangoli $ABC$ e $A'B'C'$ sono simili con rapporto di similitudine uguale al rapporto fra le distanze di $P$ dai due piani.
Devo dimostrare che $(AB)/(A'B') = (BC)/(B'C') = (AC)/(A'C')=(Palpha)/(Palpha')$
Considero il piano $alpha''$ cui $P$ appartiene, parallelo ad $alpha$ e $alpha'$. Per il teorema di Talete, $(A A')/(A'P) = (BB')/(B'P) = (C C')/(C'P)$. Applico proprietà del comporre: $(AP)/(A'P) = (BP)/(B'P) = (CP)/(C'P)$.
Poiché i triangoli $APC$ e $A' P C'$ hanno l'angolo $P$, che è compreso tra i lati direttamente proporzionali dei triangoli, in comune, concludo che $APC$ e $A'PC'$ sono simili.
In particolare $(AC)/(A'C')= (AP)/(A'P)$
Ragionamento analogo: i triangoli $APB$ e $A'PB'$ sono simili, quindi concludo che $(AB)/(A' B') = (AP)/(A'P)$
Ancora: i triangoli $BPC$ e $B'PC'$ sono simili, quindi $(BC)/(B'C')= (CP)/(C'P)$.
Ho dimostrato che i triangoli $ABC$ e $A'B'C'$ sono simili.
Per dimostrare che il rapporto di similitudine è uguale al rapporto fra le distanze di $P$ dai due piani, traccio la retta perpendicolare ai tre piani. Sempre per il teorema di Talete, la distanza tra $alpha''$ e $alpha$ è direttamente proporzionale alla distanza tra $alpha'$ e $alpha''$, quindi, confrontando la perpendicolare ai tre piani con la retta $a$, concludo che $(AP)/(A'P) = (PH)/(PH')$, dove $H$ e $H'$ rappresentano rispettivamente i punti di intersezione della perpendicolare nei piani $alpha$ e $alpha'$.
Va bene come dimostrazione?
Devo dimostrare che $(AB)/(A'B') = (BC)/(B'C') = (AC)/(A'C')=(Palpha)/(Palpha')$
Considero il piano $alpha''$ cui $P$ appartiene, parallelo ad $alpha$ e $alpha'$. Per il teorema di Talete, $(A A')/(A'P) = (BB')/(B'P) = (C C')/(C'P)$. Applico proprietà del comporre: $(AP)/(A'P) = (BP)/(B'P) = (CP)/(C'P)$.
Poiché i triangoli $APC$ e $A' P C'$ hanno l'angolo $P$, che è compreso tra i lati direttamente proporzionali dei triangoli, in comune, concludo che $APC$ e $A'PC'$ sono simili.
In particolare $(AC)/(A'C')= (AP)/(A'P)$
Ragionamento analogo: i triangoli $APB$ e $A'PB'$ sono simili, quindi concludo che $(AB)/(A' B') = (AP)/(A'P)$
Ancora: i triangoli $BPC$ e $B'PC'$ sono simili, quindi $(BC)/(B'C')= (CP)/(C'P)$.
Ho dimostrato che i triangoli $ABC$ e $A'B'C'$ sono simili.
Per dimostrare che il rapporto di similitudine è uguale al rapporto fra le distanze di $P$ dai due piani, traccio la retta perpendicolare ai tre piani. Sempre per il teorema di Talete, la distanza tra $alpha''$ e $alpha$ è direttamente proporzionale alla distanza tra $alpha'$ e $alpha''$, quindi, confrontando la perpendicolare ai tre piani con la retta $a$, concludo che $(AP)/(A'P) = (PH)/(PH')$, dove $H$ e $H'$ rappresentano rispettivamente i punti di intersezione della perpendicolare nei piani $alpha$ e $alpha'$.
Va bene come dimostrazione?
Risposte
Posto anche un'(orripilante) immagine
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