Dimostrazione funzione inversa biiettiva
Sia $f:A->B$ una funzione biettiva, dimostrare che anche $f^(-1)$ è biiettiva.
Ho scritto le ipotesi:
$\{(a1f=a2f),(a1=a2),(af=b):}$
E la tesi:
$\{(b1f=b2f),(bf=a),(b1=b2):}$
Però non riesco a scrivere la dimostrazione in modo tale da arrivare alla tesi.
Potete aiutarmi?
Grazie
Ho scritto le ipotesi:
$\{(a1f=a2f),(a1=a2),(af=b):}$
E la tesi:
$\{(b1f=b2f),(bf=a),(b1=b2):}$
Però non riesco a scrivere la dimostrazione in modo tale da arrivare alla tesi.
Potete aiutarmi?
Grazie
Risposte
Cosa ti ho detto la volta scorsa?
Parti dalle definizioni
E poi usa notazioni standard. Data una funzione $f(x)=y$ prendi un elemento del dominio $x_n$ e lo associ ad un elemento dell'immagine $y_n$.
Una volta che avrai studiato la definizione, ti sarà chiaro anche cosa vuoi provare.
Parti dalle definizioni
E poi usa notazioni standard. Data una funzione $f(x)=y$ prendi un elemento del dominio $x_n$ e lo associ ad un elemento dell'immagine $y_n$.
Una volta che avrai studiato la definizione, ti sarà chiaro anche cosa vuoi provare.
"Bokonon":
Cosa ti ho detto la volta scorsa?
Parti dalle definizioni
E poi usa notazioni standard. Data una funzione $f(x)=y$ prendi un elemento del dominio $x_n$ e lo associ ad un elemento dell'immagine $y_n$.
Una volta che avrai studiato la definizione, ti sarà chiaro anche cosa vuoi provare.
Le definizioni di funzione infettiva e suriettiva le ho studiate e le so...tanto che le ho scritte nelle ipotesi...
Non ho mai fatto dimostrazioni così e non so come muovermi...
Una volta associato cosa mi cambia?
Magari con una dimostrazione fatta bene riesco a capire il ragionamento che sta dietro a queste dimostrazioni
Tutto ciò che hai scritto (in malo modo) è una conseguenza della definizione:
Se una funzione f è iniettiva e $f(x_0)=y_0$ e $f(x_1)=y_0$ allora $x_0=x_1$
Dici di aver capito le definizioni ma non scrivi che una funzione biettiva deve essere al contempo iniettiva e suriettiva. Lo trovi scontato?
E la suriettività?
E cosa mi sai dire su immagine e codominio?
Se una funzione f è iniettiva e $f(x_0)=y_0$ e $f(x_1)=y_0$ allora $x_0=x_1$
Dici di aver capito le definizioni ma non scrivi che una funzione biettiva deve essere al contempo iniettiva e suriettiva. Lo trovi scontato?
E la suriettività?
E cosa mi sai dire su immagine e codominio?
Dato $f:A->B$ diciamo che $f$ è iniettiva se comunque scelti due elementi diversi e diversi da zero dall'insieme di partenza si ha che $a1f≠a2f$
Dato $f:A->B$ diciamo che è suriettiva se per ogni $b$ appartenente a $B$ esiste almeno un $a$ appartenente ad $A$ tale che $af=b$
dato $f:A->B$ diciamo che è biiettiva se e solo se è sia iniettiva sia suriettiva.
Queste sono le definizioni su cui ho studiato però non riesco a capire come dimostrare la richiesta dell'esercizio...
Dato $f:A->B$ diciamo che è suriettiva se per ogni $b$ appartenente a $B$ esiste almeno un $a$ appartenente ad $A$ tale che $af=b$
dato $f:A->B$ diciamo che è biiettiva se e solo se è sia iniettiva sia suriettiva.
Queste sono le definizioni su cui ho studiato però non riesco a capire come dimostrare la richiesta dell'esercizio...
Se puoi aiutarmi mi faresti solo che un grande piacere...io l'impegno l'ho messo... però non so come venirne a una
Nessun altro riesci a darmi uno spunto/aiuto?
Grazie
Grazie
Ti sto aiutando.
Hai appena scritto le definizioni, usale.
L'iniettività ti assicura che ogni singolo elemento di A è "collegato" ad un singolo elemento di B. Pertanto l'immagine coincide con l'intero codominio. Non esistono elementi di B che non siano immagine della funzione.
Visto che è anche suriettiva, ogni elemento di B ha almeno un elemento in A: per la precisione non può averne più di uno, perchè altrimenti se $f^(-1)(b)=a_1$ e $f^(-1)(b)=a_2$ allora $f(a)=b_1=b_2$ il che violerebbe l'iniettività di f. Quindi $f^(-1)$ è a sua volta iniettiva. Scrivi tutto questo formalmente e poi dimostra che $f^(-1)$ è anche suriettiva ed hai finito.
Hai appena scritto le definizioni, usale.
L'iniettività ti assicura che ogni singolo elemento di A è "collegato" ad un singolo elemento di B. Pertanto l'immagine coincide con l'intero codominio. Non esistono elementi di B che non siano immagine della funzione.
Visto che è anche suriettiva, ogni elemento di B ha almeno un elemento in A: per la precisione non può averne più di uno, perchè altrimenti se $f^(-1)(b)=a_1$ e $f^(-1)(b)=a_2$ allora $f(a)=b_1=b_2$ il che violerebbe l'iniettività di f. Quindi $f^(-1)$ è a sua volta iniettiva. Scrivi tutto questo formalmente e poi dimostra che $f^(-1)$ è anche suriettiva ed hai finito.
Grazie mille...domani mattina a mente fresca provo a scriverla...e a dimostrare la suriettivitá
Provo a scrivere il mio ragionamento per dimostrare che $f^(-1)$ è suriettiva, ma non ne sono sicuro.
So che $f^(-1)$ è iniettiva, cioè a ogni elemento di $B$ corrisponde solo un elemento di $A$.
Quindi so che di certo ci sarà per ogni $a$ appartenente ad $A$ almeno un $b$ appartenente a $B$ tale che $f^(-1)b=a$.
Ma poiché $f^(-1)$ è anche iniettiva, dovrà esserci che per ogni $b$ $f^(-1)b$ porta a trovare una $a$ diversa all'interno di $A$
È Giusto?
So che $f^(-1)$ è iniettiva, cioè a ogni elemento di $B$ corrisponde solo un elemento di $A$.
Quindi so che di certo ci sarà per ogni $a$ appartenente ad $A$ almeno un $b$ appartenente a $B$ tale che $f^(-1)b=a$.
Ma poiché $f^(-1)$ è anche iniettiva, dovrà esserci che per ogni $b$ $f^(-1)b$ porta a trovare una $a$ diversa all'interno di $A$
È Giusto?
Si
Formalizza il ragionamento
Formalizza il ragionamento
"Bokonon":
Si
Formalizza il ragionamento
Ho solo un dubbio... quando spiego che è suriettiva è meglio se scrivo $bf=a$ oppure $bf^(-1)=a$?
Per me nessuna delle due perché non conosco la notazione che usi 
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