Dimostrazione formule calcolo combinatorio

[Sternocleidomastoideo1]

Salve, avrei la necessità di dimostrare in modo rigoroso l'equivalenza delle seguenti formule per disposizioni e combinazioni semplici.
$D_(n,k) = n(n-1)(n-2)...(n-k+1) = (n!)/((n-k)!) $

$C_(n,k) = (n(n-1)...(n-k+1))/(k!) = (n!)/(k!(n-k)!) $
Purtroppo il mio libro mi scrive direttamente le formule senza sapere da dove "escano", sul web non sono riuscito ad ottenere risultati decenti... ringrazio di cuore in anticipo chi mi fornirà le dimostrazioni!
Buona domenica a tutti i lettori!

[minomic]

Ciao, non c'è una vera dimostrazione: sono equivalenze che discendono immediatamente dalla definizione di fattoriale...

[giammaria2]

Dati $n$ elementi, il primo può essere scelto in $n$ modi: quindi $D_(n,1)=n$.
Per ognuna delle scelte precedenti, il secondo può essere scelto fra i rimanenti $n-1$: quindi $D_(n,2)=n(n-1)$.
Per ognuna delle scelte precedenti, il terzo può essere scelto fra i rimanenti $n-2$: quindi $D_(n,3)=n(n-1)(n-2)$.
Continuando in questo modo, ti rendi conto che $D_(n,k)=n(n-1)(n-2)...(n-k+1)$

Per la seconda parte di quella formula, penso ti sia più chiaro se faccio prima un esempio con i numeri:
$D_(7,3)=7*6*5=7*6*5*(4*3*2*1)/(4*3*2*1)=(7*6*5*4*3*2*1)/(4*3*2*1)=(7!)/(4!)$
Lavorando analogamente con le lettere:
$D_(n,k)=n(n-1)(n-2)...(n-k+1)=n(n-1)(n-2)...(n-k+1)*((n-k)(n-k-1)...*2*1)/((n-k)(n-k-1)...*2*1)=$
$=(n!)/((n-k)!)$

Per le combinazioni, pensa di fare prima tutte le possibili $D_(n,k)$ disposizioni e poi di metterle in ordine dividendole in varie righe: in ogni riga metti tutte e sole le disposizioni formate dagli stessi elementi. Ad esempio, se avevi i 5 elementi $a,b,c,d,e$ ed hai fatto le disposizioni di classe 3, in una riga ci sarà $abc, acb, bac, bca, cab, cba$, mentre $bce$ è in un'altra riga (insieme a $ceb$ ed altre). In totale si ha
(numero complessivo delle disposizioni)=(numero delle righe)*(numero delle disposizioni in una riga)
Ma è
(numero complessivo delle disposizioni)=$D_(n,k)$;
(numero delle righe)= $C_(n,k)$ perché ad ogni riga corrisponde una combinazione;
(numero delle disposizioni in una riga)= $P_k=k!$ perché in ogni riga ci sono tutti i possibili modi di ordinare $k$ elementi,
quindi
$D_(n,k)=C_(n,k)*k!$
da cui ricavi la tua formula.

[Sternocleidomastoideo1]

Grazie a tutti per aver risposto. @giammaria sei stato molto chiaro e preciso, grazie ancora!