Dimostrazione formula disposizioni semplici

[blasino77]

Buongiorno,

non riesco a capire come dimostrare l'equivalenza sotto riportata:

$ n\cdot (n-1)\cdot ...\cdot (n-k+1)=\frac{n!}{(n-k)!} $

lo so che dovrei dare la mia idea ma non so neanche come partire...

[84f45e194ee50365c2aa8ead271e4a9d9bb017bb]

Qual'è la definizione di \(n! \)?
Qual'è la definizione di \( (n-k)! \) ?
Espandi quindi
\[ \frac{n!}{(n-k)!} = \frac{n \cdot \ldots}{(n-k) \cdot \ldots } \]
e semplifica quello che puoi semplificare.

[blasino77]

Grazie,

io volevo partire dalla sinistra e arrivare alla destra, non capisco che sostituzione devo fare...in particolare come trattare (n-k+1).

[84f45e194ee50365c2aa8ead271e4a9d9bb017bb]

Beh se vuoi partire da membro di sinistra per arrivare al membro di destra ti basta moltiplicare per i termini che ti mancano per ottenere (n!) (quali sono?) e poi se vuoi metterci un uguale in mezzo devi anche dividere per ogni fattore che hai moltiplicato.
Ad esempio
[ n cdot (n-1) cdot ldots cdot (n-k+1) = n cdot (n-1) cdot ldots cdot (n-k+1)cdot frac{(n-k)}{(n-k)} ]
[ = n cdot (n-1) cdot ldots cdot (n-k+1)cdot frac{(n-k) cdot (n-k-1)}{(n-k)cdot (n-k-1)} = ldots ]