Dimostrazione formula

[Phaedrus1]

Devo dimostrare che l'equazione della tangente a un'ellisse di equazione $x^2/a^2+y^2/b^2=1$ in un suo punto $P(x_0;y_0)$ è $(x_0x)/a^2+(y_0y)/b^2=1$. Suggerimenti?

[elgiovo]

Considera il fascio di rette di centro $(x_0,y_0)$. Di queste, una sola sarà tangente all'ellisse, e risponderà ad una certa proprietà.
Prima di leggere, pensa a come potresti fare tu.

Metti a sistema la generica retta del fascio, nella forma $y-y_0=m(x-x_0)$ con l'ellisse. Ti troverai di fronte a un'equazione
di secondo grado (ad esempio in $x$), perchè le intersezioni retta-ellisse sono due. Ciò che ti interessa è rendere tali intersezioni coincidenti,
e questo si può fare rendendo zero il discriminante dell'equazione. Otterrai allora un'equazione in $m$, che, risolta,
restituirà il coefficiente angolare della retta tangente.

[Phaedrus1]

Sì, avevo pensato a questo metodo, ma mi escono dei calcoli mostruosi ora riprovo perché questa formula mi interessa parecchio (mi risparmierebbe parecchi calcoli: però, per usarla, devo dimostrarla, se no non è mica lecita la cosa ).

[elgiovo]

Potrai liberarti dai calcoli solo facendo i primi passi nel magico mondo della derivata...