Dimostrazione estremo superiore

[oltreoceano90]

come faccio a dimostrare che dire che: l'estremo superiore equivale al più piccolo dei maggioranti è uguale a dire che dato un insieme ordinato A di numeri reali, S è l'estremo superiore di A (supA=S) se a

[ciampax]

E' una semplice applicazione delle definizioni.

Sia

[math]A[/math]

un insieme fissato e

[math]M=\{x : x>a, \forall\ a\in A\}[/math]

l'insieme dei maggioranti. Per definizione

[math]s=\sup A[/math]

se e solo se

[math]s\in M[/math]

e per ogni

[math]x\in M[/math]

si ha che

[math]s\leq x[/math]

.


Ora vuoi dimostrare che

[math]s=\sup A[/math]

se e solo se

[math]s>a,\quad \forall\ a\in A[/math]

[math]\forall\ \epsilon>0\ \exists\ a_\epsilon\in A\ :\ s-\epsilon