Dimostrazione esistenza del limite

[CaMpIoN]

Devo dimostrare che si ha
\(\displaystyle \lim_{x \to x_0} f(x)=l\)
Solo se contemporaneamente
\(\displaystyle \lim_{x \to x_0^-} f(x)=\lim_{x \to x_0^+} f(x)=l \)
Io faccio così:
Fissato un $\varepsilon>0$ uguale per tutti e tre ho
\(\displaystyle \mbox{limite } \exists \delta>0: \forall x \in D \; 0<|x-x_0|<\delta \Rightarrow |f(x)-l|<\varepsilon\)
\(\displaystyle \mbox{limite sinsitro } \exists \delta'>0: \forall x \in D \; x_0-\delta' \(\displaystyle \mbox{limite destro } \exists \delta''>0: \forall x \in D \; x_0 A questo punto essendo l'intorno di $l$ lo stesso per tutti e tre ho che i punti che si ottengono dall'immagine tramite $f$ degli intorni sinistro e destro di $x_0$ si ottengono equivalentemente dai punti dell'intorno simmetrico di $x_0$, questo significa che $\delta'=\delta''=\delta$ e quindi se vale il primo caso valgono sempre anche gli altri due casi. Inversamente se esiste il limite destro e il limite sinistro di $f(x)$ per $x$ tendente a $x_0$ allora esiste il limite di $f(x)$ per $x$ che tende a $x_0$.
Secondo voi è giusto?

[Bad90]

Dalla definizione di limite:

Sia $y=f(x) $ una funzione definita in $Df$ tranne che nel punto di accumulazione $x_0$, anche esso appartenente a $Df$, si dice che $lim_(x->x_o^-)f(x) = l$(idem per il limite destro), quando:
$ AA epsilon >0 EE delta_(epsilon) >0 | x in(x_0 -delta_(epsilon), x_0) =>|f(x)-l|

P.S. Sinceramente non sto capendo il tuo problema?!?!?!

Potresti farmi capire quale sia il tuo dubbio? Magari riesco a capire

[CaMpIoN]

Voglio dimostrare che esiste il limite di una funzione in un punto se esistono uguali i limiti destro e sinistro della funzione nello stesso punto.
Conosco le definizioni, mi serve solo una dimostrazione formale e la domanda che ho fatto è se quella che ho postato io è valida, altrimenti se ne esistesse un'altra valida.

[@melia]

L'unico neo della dimostrazione è che non è certo che $delta$, $delta'$ e $delta''$ coincidano. Devi dire che il problema è dimostrato prendendo il minimo tra $delta$, $delta'$ e $delta''$.

[CaMpIoN]

Praticamente la dimostrazione che utilizza il minimo l'ho già vista solo che invece di usare $\delta, \delta'$ e $\delta''$ prendeva il $\delta$ come il minimo di $\delta'$ e $\delta''$, per questo non capivo come potevano essere ancora validi gli intorni per tutte e tre le definizioni se gli altri due rimangono invariati, ora capisco. Grazie mille per le risposte