Dimostrazione equazioni esponenziali
Salve a tutti! 
Il mio libro, per dimostrare che l'equazione $ a^x=b, a>0, x\in \mathbb{R} $ ha una sola soluzione, afferma che $ a^x $ è l'elemento separatore di due classi contigue, fatto che aveva già dimostrato prima.
Però ho pensato se non sarebbe più semplice questa come dimostrazione:
supponiamo che ci siano due numeri $p$ e $q$ che soddisfano $a^x=b$, dunque $a^p=b$ e $a^q=b$, ma quindi $a^p=a^q$, dividendo per $a^q$ si ha che $a^p/a^q=1$, e dunque $a^(p-q)=1$, cosa possibile solo se $p-q=0 , p=q$
Suppongo ci sia un errore, sapete dirmi dove?Grazie
Il mio libro, per dimostrare che l'equazione $ a^x=b, a>0, x\in \mathbb{R} $ ha una sola soluzione, afferma che $ a^x $ è l'elemento separatore di due classi contigue, fatto che aveva già dimostrato prima.
Però ho pensato se non sarebbe più semplice questa come dimostrazione:
supponiamo che ci siano due numeri $p$ e $q$ che soddisfano $a^x=b$, dunque $a^p=b$ e $a^q=b$, ma quindi $a^p=a^q$, dividendo per $a^q$ si ha che $a^p/a^q=1$, e dunque $a^(p-q)=1$, cosa possibile solo se $p-q=0 , p=q$
Suppongo ci sia un errore, sapete dirmi dove?Grazie
Risposte
La tua dimostrazione è valida per l'unicità della soluzione, ma non per la sua esistenza. In pratica affermi che, se la soluzione esiste allora essa è unica, ma non dai alcuna garanzia sull'esistenza della soluzione, per la quale è necessario introdurre i numeri reali con le classi contigue.
"@melia":
La tua dimostrazione è valida per l'unicità della soluzione, ma non per la sua esistenza.
E' il metodo che si usa per dimostrare l'iniettività della funzione esponenziale.
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