Dimostrazione di un teorema

[goalkeeper95]

ciao a tutti ...non riesco a dimostrare questo teorema: dato un triangolo qualsiasi, dimostrare che la somma di tutte le sue mediane è minore del perimetro e maggiore del semi-perimetro.
P.S. si deve dimostrare senza usare le conoscenze sul baricentro.

ho pensato che c'entri il fatto che in ogni triangolo un lato è maggiore della somma degli altri due e minore della loro differenza, ma non sono arrivato a niente.

[Nicole931]

la tua intuizione è giusta: considera infatti i triangoli in cui le mediane dividono il triangolo dato e poi applica il primo teorema ;
considerando ad esempio la mediana AM, relativa a BC, avrai : $AM procedi allo stesso modo per le altre due mediane, poi somma membro a membro le sei disuguaglianze : ottieni una disuguaglianza nello stesso verso tra il doppio della somma delle mediane e il doppio perimetro, quindi poi basta dividere tutto per due

prova a fare qualcosa del genere per la seconda parte del teorema

[goalkeeper95]

cosi ottengo una disuguaglianza tra il triplo della somma delle mediane e il doppio del perimetro e non come dici tu

[@melia]

"Il triplo della somma delle mediane è minore del doppio del perimetro" questo significa che la somma delle mediane è minore di $2/3$ del perimetro, che a sua volta è minore del perimetro. Quindi la prima parte del problema è fatta.
Per la seconda parte credo che tu debba lavorare sulle differenze.

[Nicole931]

"goalkeeper95":cosi ottengo una disuguaglianza tra il triplo della somma delle mediane e il doppio del perimetro e non come dici tu

in realtà è il contrario, cioè la disuguaglianza è tra il doppio della somma delle mediane e il triplo del perimetro, ed è per questo che non va bene (altrimenti, come dice @melia, il teorema sarebbe dimostrato)
allora potrei suggerirti di ricorrere al teorema secondo cui in un triangolo con due angoli disuguali, anche i lati opposti a questi angoli sono disuguali, e ad angolo maggiore sta opposto lato maggiore
comunque anche questo procedimento mi causa qualche perplessità; posso chiederti da quale testo è tratto questo teorema, che è sicuramente vero per quanto riguarda le altezze?

[goalkeeper95]

da nuova algebra atlas editore

[Nicole931]

trovata la dimostrazione!
Procedi facendo la stessa costruzione che richiede la dimostrazione del primo teorema sull'angolo esterno : prolunga la mediana relativa al lato BC (AM)di un segmento ML congruente alla mediana stessa e considera il triangolo ABM
In questo triangolo avrai che :$AN ma $BN=AC, MN=AM$, quindi :$2AM procedi allo stesso modo per le altre due mediane, poi prosegui come ti avevo già detto, sommando membro a membro e dividendo ambo i membri per 2

[nik951]

Ciao a tutti,
ho anche io un problema simile al precedente, forse anche più facile, che ho provato a risolvere ma dopo un certo punto mi blocco.
Esso chiede di dimostrare che in ogni triangolo un lato è minore del semiperimetro.
Il modo in cui ho rovato a risolvero inizialmente è stato quello di usare la disuguaglianza triangolare per tutti e 3 i lati e poi sommare membro a membro, dividere pr 2, ma non ottengo il risultato richiesto.
Ho provato poi a prolungare un lato nella misura del semiperimetro e cercare ancora di applicare la disuguaglianza triangolare ma mi blocco sempre subito dopo.
Grazie

[Nicole931]

in effetti la dimostrazione è molto semplice
parti dal fatto che un qualsiasi lato è minore della somma degli altri due, ad esempio:
$AB ora somma ad ambo i membri $AB$ :
$AB+AB ottieni così:
$2AB< AB+BC+AC -> AB<(AB+BC+AC)/2$ , c.v.d.

[nik951]

Grazie mille.
In effetti era davvero semplice.

[Nicole931]

prego