Dimostrazione di secante e cosecante in trigonometria

[rofellone]

Salve,vorrei sapere se mi potete aiutare a dimostrare che secalfa=1/cosalfa e cosecalfa=1/senalfa. sul mio libro non ci sono purtroppo le dimostrazioni di queste relazioni. ringrazio tutti quelli che vorranno aiutarmi.
======================
Admin
Esercizi di trigonometria

[G.D.5]

Io sapevo che erano definizioni.

[@melia]

Dopo aver tracciato la circonferenza goniometrica, e il punto P su di essa in modo che $hat(AOP)=alpha$ dove A è il punto di origine degli archi sull'asse x,
Traccia la tangente in P alla circonferenza. Tale tangente interseca l'asse delle x in S e quella delle y in R.
Si indica con $sec alpha=x_S$ e con $cosec alpha=y_R$

Per dimostrare la quarta e la quinta relazione fondamentale basta trovare l'equazione della retta RPS sapendo che passa per P ed è perpendicolare OP.
L'equazione diventa quindi $y-sin alpha=-(cos alpha)/(sin alpha) * (x- cos alpha)$
Questa retta interseca l'asse x in $S (1/(cos alpha);0)$ e l'asse y in $R (0;1/(sin alpha))$ con la conseguenza che $sec alpha =1/(cos alpha)$ e $cosec alpha =1/(sin alpha)$

[G.D.5]

"@melia":Dopo aver tracciato la circonferenza goniometrica, e il punto P su di essa in modo che $hat(AOP)=alpha$ dove A è il punto di origine degli archi sull'asse x,
Traccia la tangente in P alla circonferenza. Tale tangente interseca l'asse delle x in S e quella delle y in R.
Si indica con $sec alpha=x_S$ e con $cosec alpha=y_R$

Per dimostrare la quarta e la quinta relazione fondamentale basta trovare l'equazione della retta RPS sapendo che passa per P ed è perpendicolare OP.
L'equazione diventa quindi $y-sin alpha=-(cos alpha)/(sin alpha) * (x- cos alpha)$
Questa retta interseca l'asse x in $S (1/(cos alpha);0)$ e l'asse y in $R (0;1/(sin alpha))$ con la conseguenza che $sec alpha =1/(cos alpha)$ e $cosec alpha =1/(sin alpha)$

Non lo sapevo. Ogni giorno se ne impara una nuova. Grazie @melia!

[Steven11]

O senza geometria analitica:
sia $H$ la proiezione di $P$ sull'asse $x$.
Risulta quindi $PH=sinalpha$ e $OH=cosalpha$
Il triangolo $\stackrel{Delta}{OSP}$ è retto in $P$, quindi applicando il primo teorema di Euclide,
$\bar{OP}^2=\bar{OH}*\bar{OS}$
ma d'altra parte $\bar{OP}=1$ e $OH=cosalpha$ quindi si ha
$cosalpha*\bar{OS}=1$
ovvero
$secalpha=\bar{OS}=1/(cosalpha)$

Analogamente per la cosecante.

[@melia]

Grazie Steven, mi ricordo che quando facevo il liceo il mio insegnante le aveva dimostrate senza la geometria analitica, ma al momento non mi veniva in mente come.