Dimostrazione di geometria (188315)

[postbasso]

mi servirebbe aiuto per questa dimostrazione. "Nel triangolo ABC rettangolo in A indica con H il piede dell'altezza relativa all'ipotenusa, con M e N i punti medi dei due cateti. Dimostra che i punti A, M, H, N giacciono su una stessa circonferenza". Siccome la condizione necessaria e sufficiente perché un quadrilatero sia inscritto ad una circonferenza è che gli angoli opposti siano supplementari, sto cercando di dimostrare che ANH e AMH e poi NAM e NHM sono supplementari, ma non so come muovermi

[ce8c0e31f941cc14ed8def9a9c5c3a60a8400d85]

Ipotesi:

[math]\small A\overset{\triangle}{B}C[/math]

rettangolo di

[math]\hat{A}[/math]

;

[math]AH[/math]

altezza relativa a

[math]BC[/math]

;

[math]AM \cong BM[/math]

;

[math]AN \cong NC\\[/math]

.


Tesi:

indicando con

[math]\gamma[/math]

la circonferenza, si ha

[math]A,\,M,\,H,\,N \in \gamma\\[/math]

.


Dimostrazione:

Dato che

[math]MN[/math]

unisce i punti medi dei cateti, per il corollario al teorema di Talete
si ha

[math]MN \parallel BC[/math]

. Detto

[math]K = MN \cap AH[/math]

, essendo

[math]AM \cong BM[/math]

per
ipotesi, per il teorema di Talete risulta

[math]AK \cong KH[/math]

. In

[math]\small A\overset{\triangle}{M}H[/math]

il segmento

[math]MK[/math]

è altezza e mediana; quindi tale triangolo è isoscele sulla base

[math]AH[/math]

e
risulta

[math]AM \cong MH[/math]

(analogamente si deduce che

[math]AN \cong NH\\[/math]

).

[math]\small A\overset{\triangle}{M}N[/math]

e

[math]\small M\overset{\triangle}{H}N[/math]

avendo tre lati ordinatamente congruenti risultano congruenti
per il 3° criterio di congruenza fra triangoli; inoltre segue che

[math]\small M\overset{\triangle}{H}N[/math]

è rettangolo
in

[math]\hat{H}[/math]

. Siamo al traguardo!! Infatti, notando che i due triangoli rettangoli appena
esaminati hanno in comune l'ipotenusa

[math]MN[/math]

e ricordando che ad un triangolo
rettangolo è sempre possibile circoscrivere una circonferenza di cui un diametro
è l'ipotenusa del triangolo rettangolo, si è dimostrato che

[math]A,\,M,\,H,\,N \in \gamma[/math]

,
circonferenza di diametro

[math]MN[/math]

.

[math]\square\\[/math]

Prova a vedere se ti ritrovi. ;)