Dimostrazione di geometria

[oleg.fresi]

Avrei bisogno di aiuto per una dimostrazione di geometria solida. il fatto è che anche riuscissi a farla non saprei se è corretta oppure no. La richiesta è questa: data una retta $r$ ed un punto $P notin r$ dimostra che esiste uno e un solo piano passante per $P$ e per $r$. L'unica cosa che ho pensato è di sfruttare il primo postulato nello spazio ovvero considerati tre punti non allineati in un piano per due di questi punti passa una retta, l'altro punto è escluso dalla retta ma questi tre punti con la retta gicciono sullo stesso piano, e così ho dimostrato la tesi. A prescindere che sia corretta o no, non ho idea di come dimostrare l'unicità del piano. Potreste aiutarmi per favore?

[Indrjo Dedej]

Una retta è un qualcosa che contiene almeno due punti diversi (per quale motivo?). Il terzo punto che non è allineato ai primi due è quello esterno alla retta: in tal caso esisterà uno e un solo piano che passa per questi tre punti. Ma la retta è contenuta tutta nel piano? Sì. Perché? c.v.d.

Vedi questo.

Esercizio interessante: dimostra che scelte due rette incidenti qualsiasi, esiste uno e un solo piano che le contiene.

[teorema55]

Quindi il riferimento è il V assioma di incidenza di Hilbert. Ciò che mi lascia perplesso è che l'esercizio chiede di dimostrare l'unicità del piano, mentre, come soluzione, si fa riferimento ad un assioma, per definizione dato per scontato e non dimostrabile.
Anche Euclide considera l'unicità del piano passante per 3 punti non allineati come corollario di uno dei primi quattro postulati.
L'unicità del piano passante per 3 punti non allineati si può dimostrare nel piano cartesiano con un sistema di 3 equazioni (3 incognite) oppure, per chi ne abbia già conoscenza, con un calcolo matriciale.

Cordialmente.

Marco

[Indrjo Dedej]

"teorema55":
Ciò che mi lascia perplesso è che l'esercizio chiede di dimostrare l'unicità del piano, mentre, come soluzione, si fa riferimento ad un assioma, per definizione dato per scontato e non dimostrabile.

Io non ci vedo nulla di male. Appena fornisci un'assiomatica succede che le proprietà elementari si dimostrino in modi simili.

"teorema55":
Anche Euclide considera l'unicità del piano passante per 3 punti non allineati come corollario di uno dei primi quattro postulati.

Appena posso mi sfoglio gli Elementi per trovare il riferimento.

[oleg.fresi]

Ho letto delle varie geometrie oltre quella Euclidea, ma resta il fatto che essendo un esercizio di liceo (secondo la notazione del libro, pure semplice), devo attenermi alla teoria proposta nel libro. Rispondo alla prima domanda: la retta deve passare per due punti distinti altrimenti sarebbe adimensionale, cosa che è già il punto(non ho mai trovato una definzione rigorosa di retta, ma solo come linea parte di un piano infinita). La retta è contenuta interamente nel piano perchè il piano ha superficie infinita. Detto questo la mia dimostrazione, seppur non rigorosamente espressa, risulta corretta? E quindi anche l'unicità del piano è dimostrata?

[teorema55]

Sai leggere?

[Indrjo Dedej]

"Indrjo Dedej":Vedi questo.

Gli assiomi che ci sono nei libri delle superiori sono questi, alcuni non vengono menzionati per non esagerare. Che tu prenda il tuo libro o quella pagina wiki è lo stesso ai fini del nostro discorso.

Detto questo: hai mai fatto dimostrazioni (in generale)?

Tu mi hai spiegato la "ragionevolezza" di certe scelte e di certi passi, e andrebbe bene. Però questo aspetto speculativo è stato già affrontato all'inizio quando si forniscono gli assiomi. In una dimostrazione si usa citare l'assioma in questione ("l'assioma no. ...", "per l'assioma di ...", e così via...) che mi consente di andare avanti.

"olegfresi":
La retta è contenuta interamente nel piano perchè il piano ha superficie infinita.

Questa non ha senso. Cercami l'assioma che serve sul libro o al link che ti ho menzionato.

Alla fine svolgi questo esercizio:

"Indrjo Dedej":
Esercizio interessante: dimostra che scelte due rette incidenti qualsiasi, esiste uno e un solo piano che le contiene.

come si deve.

[oleg.fresi]

Se ci sono 3 punti nel piano e per due di questi ci faccio passare una retta, la retta giace itramente nel piano per il 2 postulato.
Due rette incidenti anno un punto in comune, e quando due rette sono incidenti allora sono necessariamente complanari. E visto che possiamo scegliere due punti qualunque in cui far passare le rette, il terzo punto è quello di incidenza, dunque per tre punti non allineati passa uno e un solo piano. Adesso va meglio?

[Indrjo Dedej]

Se il secondo postulato del tuo libro dice

se due punti di una retta stanno su un piano, allora la retta è contenuta (tutta) in quel piano

o qualcosa di simile, allora va bene.

"olegfresi":
E visto che possiamo scegliere due punti qualunque in cui far passare le rette, il terzo punto è quello di incidenza, dunque per tre punti non allineati passa uno e un solo piano.

E quindi il piano passa per quelle rette? Sì, similmente a prima.

[oleg.fresi]

Il secondo postulato dice che: fissati due punti nel piano, la retta passante per i due punti giace interamente sul piano. Non è che il piano passa per quelle rette, ma le contiene. Ma tornando alla mia richiesta originale, ciò che ho chiesto è stato dimostrato?

[Indrjo Dedej]

Sì, ti mancava quell'ultimo passo, che devi esplicitare altrimenti le argomentazioni sono incomplete.

PS: che io sappia si può dire "un piano passa per una retta", ma è sempre meglio dire "un piano contiene una retta".

[oleg.fresi]

Perfetto, grazie tante per avermi aiutato a capire!