Dimostrazione di geometria ?
Esegui per via analitica la seguente dimostrazione di geometria dopo avere opportunamente scelto un sistema di riferimento.
Dimostra che se un rettangolo ha le diagonali perpendicolari, allora è un quadrato.
Dimostra che se un rettangolo ha le diagonali perpendicolari, allora è un quadrato.
Risposte
Il segreto per dimostrare agevolmente il teorema è la scelta del sistema di riferimento.
In questo caso penso che la migliore sia un sistema di riferimento con gli assi paralleli ai lati del rettangolo e centro nel punto di intersezione delle diagonali.
In tal caso è conveniente anche indicare con $2a$ la misura della base del rettangolo e con $2b$ la misura dell'altezza, ovviamente $a>0$ e $b>0$.
Il vertice del rettangolo che sta nel primo quadrante ha coordinate $(a,b)$, quello nel secondo $(-a,b)$, nel terzo $(-a,-b)$ e nel quarto $(a, -b)$.
A questo punto trovi le equazioni delle diagonali come rette passanti per due punti. Ottieni $y=b/a x$ e $y= -b/a x$ alle quali imponi la condizione di perpendicolarità: $m*m'= -1$.
In questo caso penso che la migliore sia un sistema di riferimento con gli assi paralleli ai lati del rettangolo e centro nel punto di intersezione delle diagonali.
In tal caso è conveniente anche indicare con $2a$ la misura della base del rettangolo e con $2b$ la misura dell'altezza, ovviamente $a>0$ e $b>0$.
Il vertice del rettangolo che sta nel primo quadrante ha coordinate $(a,b)$, quello nel secondo $(-a,b)$, nel terzo $(-a,-b)$ e nel quarto $(a, -b)$.
A questo punto trovi le equazioni delle diagonali come rette passanti per due punti. Ottieni $y=b/a x$ e $y= -b/a x$ alle quali imponi la condizione di perpendicolarità: $m*m'= -1$.
"@melia":
Il segreto per dimostrare agevolmente il teorema è la scelta del sistema di riferimento.
In questo caso penso che la migliore sia un sistema di riferimento con gli assi paralleli ai lati del rettangolo e centro nel punto di intersezione delle diagonali.
In tal caso è conveniente anche indicare con $2a$ la misura della base del rettangolo e con $2b$ la misura dell'altezza, ovviamente $a>0$ e $b>0$.
Il vertice del rettangolo che sta nel primo quadrante ha coordinate $(a,b)$, quello nel secondo $(-a,b)$, nel terzo $(-a,-b)$ e nel quarto $(a, -b)$.
A questo punto trovi le equazioni delle diagonali come rette passanti per due punti. Ottieni $y=b/a x$ e $y= -b/a x$ alle quali imponi la condizione di perpendicolarità: $m*m'= -1$.
m * m1 non dovrebbe essere - b²/a² , visto che il coefficiente angolare della prima retta è b/a e della seconda retta è - b/a ?
Quello che ho scritto è la condizione di perpendicolarità, quindi se $-b^2/a^2= -1$ e sia $b$ che $a$ sono positivi risulta $b=a$ e il rettangolo ha tutti lati che misurano $2a$ perciò è un quadrato.
"@melia":
Quello che ho scritto è la condizione di perpendicolarità, quindi se $-b^2/a^2= -1$ e sia $b$ che $a$ sono positivi risulta $b=a$ e il rettangolo ha tutti lati che misurano $2a$ perciò è un quadrato.
Ok, grazie
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