Dimostrazione di alcuni teoremi sulle disuguaglianze

[Gufo941]

Buonasera a tutti!
Volevo proporvi alcuni esercizi sulle disuguaglianze che ho avuto come compiti per le vacanze.
Ad esempio, il primo dice: "Si dimostri che, da $a>b>0$ e $c>d>0$ si può dedurre che è $ac>bd$.
Ora io so che questa è un principio delle disuguaglianze, ma come faccio a dimostrarlo? Per alcuni principi la parte di teoria del mio libro non fornisce una dimostrazione "normale", ma solo dei controesempi numerici con cui confrontare l'enunciato. Devo fare anche io così per il mio esercizio?

[G.D.5]

@Gufo94
Esatto

@simo90
Questa è proprio l'induizione naif a cui mi riferivo: dal valere della proprietà per [tex]0,1,2[/tex] non puoi estenderla sic et simpliciter ad [tex]\mathbb{N}[/tex] richiamando l'induzione, perché richiamare l'induzione significa comunque provare che vale una implicazione: i.e. dal valere della proprietà per un genetico elemento naturale, la proprietà continua a valere anche per il uo successore.
Ed allora per [tex]n=1[/tex] si ha [tex]a^1=a>b=b^1[/tex]; supposto che sia vero per un certo [tex]n \in\mathbb{N}[/tex] che [tex]a^{n}>b^{n}[/tex] (questa supposizione si chiama ipotesi induttiva), vediamo cosa succede per [tex]n+1[/tex]: [tex]a^{n+1}=a^{n}\cdot a[/tex] e [tex]b^{n+1}=b^{n}\cdot b[/tex], ma per ipotesi induttiva [tex]a^{n}>b^{n}[/tex] e per ipotesi in traccia [tex]a>b[/tex], allora per il famoso "teorema precedente" si ha [tex]a^{n}\cdot a > b^{n}\cdot b[/tex].

[Gufo941]

Ok, ho capito. Poi riprenderò questa induzione.
L'ultimo teorema da dimostrare dice: la semisomma di due numeri reali è sempre compresa fra i numeri stessi.

Cioè [tex]a, b \in \mathbb{R} \Longrightarrow a< \frac{a+b}{2}

Cita

Segnala

[G.D.5]

Sia [tex]a

Cita

Segnala

[Gufo941]

Ci ho pensato durante il primo tempo della partita e mi è venuta un'idea

[tex]a< \frac{a+b}{2} < b \Rightarrow \frac{a+b}{2} < b \land \frac{a+b}{2} > a[/tex]
1) Sia [tex]a 2) Si consideri ora [tex]b>a \Rightarrow b+a>2a \Rightarrow \frac{a+b}{2} > a[/tex]

Beh? Ho combinato qualcosa di significativo?

[G.D.5]

Va bene.

[Gufo941]

Bene, sono contento
Grazie di tutto!!

[Gufo941]

Mi piacerebbe provare altre dimostrazioni, ma il mio libro si ferma qui -.-
Vedo se riesco a trovare degli esercizi in internet

[Gufo941]

Niente, pazienza

[sradesca]

@ wizard be sarebbe un modo più corretto forse di esprimere quello che ho detto io o sbaglio? tutto sta nel dimostrare che quello che è vero per $n$ è vero anche per $n+1$ "vero"?

[G.D.5]

Giusto. Diciamo però che è essenziale: se io in una dimostrazione dico "Ho visto che funziona per 0,1,2 quindi intuisco che, per analogia di metodo, funziona per tutti i numeri naturali" posso aver detto qualche cosa di intuitivamente esatto, ma sostanzialmente vacuo, dacché mi si potrebbe opporre la domanda "E chi te lo dice che funziona pure per 1020344562729897850484048468292?".
Se io invece mostro che vale per 0 (o per 1, a seconda che si reputi lo 0 un numero naturale o meno) e dal valere per n si trae il valere per n+1 posso dire allora che vale per tutti i naturali perché me lo assicura il principio di induzione.