Dimostrazione di alcuni teoremi sulle disuguaglianze
Buonasera a tutti! 
Volevo proporvi alcuni esercizi sulle disuguaglianze che ho avuto come compiti per le vacanze.
Ad esempio, il primo dice: "Si dimostri che, da $a>b>0$ e $c>d>0$ si può dedurre che è $ac>bd$.
Ora io so che questa è un principio delle disuguaglianze, ma come faccio a dimostrarlo? Per alcuni principi la parte di teoria del mio libro non fornisce una dimostrazione "normale", ma solo dei controesempi numerici con cui confrontare l'enunciato. Devo fare anche io così per il mio esercizio?
Volevo proporvi alcuni esercizi sulle disuguaglianze che ho avuto come compiti per le vacanze.
Ad esempio, il primo dice: "Si dimostri che, da $a>b>0$ e $c>d>0$ si può dedurre che è $ac>bd$.
Ora io so che questa è un principio delle disuguaglianze, ma come faccio a dimostrarlo? Per alcuni principi la parte di teoria del mio libro non fornisce una dimostrazione "normale", ma solo dei controesempi numerici con cui confrontare l'enunciato. Devo fare anche io così per il mio esercizio?
Risposte
si può dimostrare così: considerato che sono tutti numeri positivi puoi moltiplicare per uno stesso numero a destra e a sinistra della disiguaglianza senza che il segno cambi . quindi moltiplica $a>b$ per c da entrambe le parti e ottieni $ac>bc$ (disequazione ancora valida); poi moltiplica $c>d$ per b da entrambe le parti e ottieni $bc>bd$; a questo puntio somma le parti sinistre delle disuguaglianze tra di loro così cme le parti destre ottenendo $ac+bc>bc+bd$ puoi eliminare i termini simile $bc$ e ottieni la tesi come volevasi dimostrare
Mmm, ok ho capito, grazie simo90. Quindi sono proprio dimostrazioni vere e proprie da fare.
Un altro esercizio:
Ipotesi: $a>b>0$, $n in NN$;
Tesi: $a^n >b^n$.
Io ho pensato: siccome entrambi i numeri sono positivi, se li moltiplico per loro stessi un numero naturale qualsiasi $n$ di volte, mantengono il loro segno, e rimangono sempre positivi. Quindi il verso della diseguaglianza non cambia. Può essere un ragionamento valido?
Un altro esercizio:
Ipotesi: $a>b>0$, $n in NN$;
Tesi: $a^n >b^n$.
Io ho pensato: siccome entrambi i numeri sono positivi, se li moltiplico per loro stessi un numero naturale qualsiasi $n$ di volte, mantengono il loro segno, e rimangono sempre positivi. Quindi il verso della diseguaglianza non cambia. Può essere un ragionamento valido?
per il segno va bene ma per il resto devi ragionare cme ho fatto io prima: allora è un caso ricnducibile al primo infatti prendi $a>b$ e $a>b$ ; per il teorema dimostrato in precedenza (se $a>b>0$ e $c>d>0$ allora $ac>bd$) ottieni proprio che $a*a>b*b$ e così di seguito come volevasi dimostrare
Mmmm, provo a postarne un'altra ma penso sia sbagliata anche questa.
Eccola: [tex]0
Ho ragionato in questo modo:
1) [tex]b[/tex] e [tex]a[/tex] sono positivi e [tex]a
Non so se è giusta però
Eccola: [tex]0
Ho ragionato in questo modo:
1) [tex]b[/tex] e [tex]a[/tex] sono positivi e [tex]a
Non so se è giusta però
si mi sembra giusta bravo
Due appunti.
Queste proprietà che in apertura di topic sono state chiamate principi non sono principi ma sono, effettivamente e come si vede, dei teoremi, che derivano dagli assiomi dei numeri reali o da come questi vengono definiti (a seconda che, rispettivamente, si proceda ad una loro presentazione assiomatica o costruttiva).
Quando in queste proprietà figurano i numeri naturali, a volere essere zelanti, andrebbe usato il principio di induzione.
Queste proprietà che in apertura di topic sono state chiamate principi non sono principi ma sono, effettivamente e come si vede, dei teoremi, che derivano dagli assiomi dei numeri reali o da come questi vengono definiti (a seconda che, rispettivamente, si proceda ad una loro presentazione assiomatica o costruttiva).
Quando in queste proprietà figurano i numeri naturali, a volere essere zelanti, andrebbe usato il principio di induzione.
Bene, mi fa piacere
Ora ho questa che ho già dimostrato: [tex]0
Risponderei che il verso della loro diseguaglianza dipende dai valori aritmetici dei valori [tex]a, b, c, d[/tex], e quindi dal segno delle loro somme.
Nel caso in cui le somme siano concordi, è [tex](a+c)^{2n}>(b+d)^{2n}[/tex]
Ora qui sono diventato un po' matto, perché nel caso in cui la prima somma sia negativa e la seconda positiva è [tex](a+c)^{2n}<(b+d)^{2n}[/tex] e qui ok.
Però non riesco a trovare dei valori per cui la prima somma sia positiva e la seconda negativa: può essere che non possano mai coesistere le due condizioni [tex]a+c>0 \land b+d<0[/tex], con le condizioni di partenza?
Ora ho questa che ho già dimostrato: [tex]0
Risponderei che il verso della loro diseguaglianza dipende dai valori aritmetici dei valori [tex]a, b, c, d[/tex], e quindi dal segno delle loro somme.
Nel caso in cui le somme siano concordi, è [tex](a+c)^{2n}>(b+d)^{2n}[/tex]
Ora qui sono diventato un po' matto, perché nel caso in cui la prima somma sia negativa e la seconda positiva è [tex](a+c)^{2n}<(b+d)^{2n}[/tex] e qui ok.
Però non riesco a trovare dei valori per cui la prima somma sia positiva e la seconda negativa: può essere che non possano mai coesistere le due condizioni [tex]a+c>0 \land b+d<0[/tex], con le condizioni di partenza?
"WiZaRd":
Due appunti.
Queste proprietà che in apertura di topic sono state chiamate principi non sono principi ma sono, effettivamente e come si vede, dei teoremi, che derivano dagli assiomi dei numeri reali o da come questi vengono definiti (a seconda che, rispettivamente, si proceda ad una loro presentazione assiomatica o costruttiva).
Quando in queste proprietà figurano i numeri naturali, a volere essere zelanti, andrebbe usato il principio di induzione.
Giusto, hai ovviamente ragione. Molto interessante, ma cos'è questo principio di induzione?
Io credo che i segni delle somme abbiano poca importanza essendo quelle somme elevate a potenze pari.
O forse non ho capito cosa stai facendo?!
O forse non ho capito cosa stai facendo?!
Eh non lo so neanche io, cercavo una risposta alla seconda domanda dell'esercizio e mi sono infilato in questa storia dei segni 
Cosa posso dedurre dal confronto di quelle due somme? 
Cosa posso dedurre dal confronto di quelle due somme?
Principio di induzione.
Sia [tex]S \subseteq \mathbb{N}[/tex]; se
(1) [tex]0 \in S[/tex]
(2) [tex]\forall n, n \in S \implies \sigma(n) \in S[/tex] (*)
allora [tex]S=\mathbb{N}[/tex]
Questo principio (l'ultimo degli assiomi di Peano per la presentazione assiomatica di [tex]\mathbb{N}[/tex]) può essere utilizzato per provare che una determinata proprietà vale per tutti i numeri naturali.
Sia [tex]\mathcal{P}(x)[/tex] una proprietà definita sugli elementi di [tex]\mathbb{N}[/tex]. Se
(1) [tex]\mathcal{P}(0)[/tex] è vera
(2) se [tex]\mathcal{P}(n)[/tex] vera fa dedurre che è vera pure [tex]\mathcal{P}(n+1)[/tex]
allora la proprietà è vera per tutti i nuemeri naturali.
____________________
(*) La funzione [tex]\sigma:\mathbb{N} \to \mathbb{N}[/tex] è la funzione successore.
Sia [tex]S \subseteq \mathbb{N}[/tex]; se
(1) [tex]0 \in S[/tex]
(2) [tex]\forall n, n \in S \implies \sigma(n) \in S[/tex] (*)
allora [tex]S=\mathbb{N}[/tex]
Questo principio (l'ultimo degli assiomi di Peano per la presentazione assiomatica di [tex]\mathbb{N}[/tex]) può essere utilizzato per provare che una determinata proprietà vale per tutti i numeri naturali.
Sia [tex]\mathcal{P}(x)[/tex] una proprietà definita sugli elementi di [tex]\mathbb{N}[/tex]. Se
(1) [tex]\mathcal{P}(0)[/tex] è vera
(2) se [tex]\mathcal{P}(n)[/tex] vera fa dedurre che è vera pure [tex]\mathcal{P}(n+1)[/tex]
allora la proprietà è vera per tutti i nuemeri naturali.
____________________
(*) La funzione [tex]\sigma:\mathbb{N} \to \mathbb{N}[/tex] è la funzione successore.
Usa questo fatto:
"Gufo94":
Un altro esercizio:
Ipotesi: $a>b>0$, $n in NN$;
Tesi: $a^n >b^n$.
"WiZaRd":
Principio di induzione.
Sia [tex]S \subseteq \mathbb{N}[/tex]; se
(1) [tex]0 \in S[/tex]
(2) [tex]\forall n, n \in S \implies \sigma(n) \in S[/tex] (*)
allora [tex]S=\mathbb{N}[/tex]
Questo principio (l'ultimo degli assiomi di Peano per la presentazione assiomatica di [tex]\mathbb{N}[/tex]) può essere utilizzato per provare che una determinata proprietà vale per tutti i numeri naturali.
Sia [tex]\mathcal{P}(x)[/tex] una proprietà definita sugli elementi di [tex]\mathbb{N}[/tex]. Se
(1) [tex]\mathcal{P}(0)[/tex] è vera
(2) se [tex]\mathcal{P}(n)[/tex] vera fa dedurre che è vera pure [tex]\mathcal{P}(n+1)[/tex]
allora la proprietà è vera per tutti i nuemeri naturali.
____________________
(*) La funzione [tex]\sigma:\mathbb{N} \to \mathbb{N}[/tex] è la funzione successore.
Oh che bello, non lo sapevo, grazie !
Allora... per dimostrare la tesi di prima uso il principio di induzione perché si parla di numeri naturali.
[tex]a>b>0 \Longrightarrow a^n>b^n[/tex] mmm..
Una cosa non ho capito: cos'è [tex]x[/tex]?
"WiZaRd":infatti nella dimostrazione che ho scritto sopra di se $a>b$ con a,b>0 allora $a^n>b^n$ si usa proprio l'induzione Wizard
Quando in queste proprietà figurano i numeri naturali, a volere essere zelanti, andrebbe usato il principio di induzione.
Quando ho detto "Usa questo fatto" lo dicevo per rispondere alla domanda dell'ultimo esercizio.
Si chiedeva cosa si poteva dedurre su [tex](a+c)^{2n}[/tex] e [tex](b+d)^{2n}[/tex]: ebbene [tex](a+c)^{2n}=[(a+c)^2]^{n}[/tex] e [tex](b+d)^{2n}=[(b+d)^{2}]^{n}[/tex], sicché, posto [tex]t=(a+c)^{2}[/tex] e [tex]z=(b+d)^{2}[/tex] hai da valutare [tex]t^{n}[/tex] e [tex]z^{n}[/tex] ed in virtù di quanto da me quotato nel mio precedente intervento, se è [tex]t>z[/tex] è anche [tex]t^{n}>z^{n}[/tex] e se è [tex]z>t[/tex] è anche [tex]z^{n}>t^{n}[/tex], sicché, in ultima analisi, il verso della disugaglianza tra [tex](a+c)^{2n}[/tex] e [tex](b+d)^{2n}[/tex] dipende dal...
Si chiedeva cosa si poteva dedurre su [tex](a+c)^{2n}[/tex] e [tex](b+d)^{2n}[/tex]: ebbene [tex](a+c)^{2n}=[(a+c)^2]^{n}[/tex] e [tex](b+d)^{2n}=[(b+d)^{2}]^{n}[/tex], sicché, posto [tex]t=(a+c)^{2}[/tex] e [tex]z=(b+d)^{2}[/tex] hai da valutare [tex]t^{n}[/tex] e [tex]z^{n}[/tex] ed in virtù di quanto da me quotato nel mio precedente intervento, se è [tex]t>z[/tex] è anche [tex]t^{n}>z^{n}[/tex] e se è [tex]z>t[/tex] è anche [tex]z^{n}>t^{n}[/tex], sicché, in ultima analisi, il verso della disugaglianza tra [tex](a+c)^{2n}[/tex] e [tex](b+d)^{2n}[/tex] dipende dal...
Ti riferisci a questo?
Direi che è un modo un po' naif di usare l'induzione: per come è scritto c'è scritto semplicemente che se si continua con tre, quattro, cinque,..., centro,... termini la cosa continua a funzionare, ma questo non è usare l'induzione.
"simo90":
per il segno va bene ma per il resto devi ragionare cme ho fatto io prima: allora è un caso ricnducibile al primo infatti prendi $a>b$ e $a>b$ ; per il teorema dimostrato in precedenza (se $a>b>0$ e $c>d>0$ allora $ac>bd$) ottieni proprio che $a*a>b*b$ e così di seguito come volevasi dimostrare
Direi che è un modo un po' naif di usare l'induzione: per come è scritto c'è scritto semplicemente che se si continua con tre, quattro, cinque,..., centro,... termini la cosa continua a funzionare, ma questo non è usare l'induzione.
...dipende dal fatto che [tex]a+c[/tex] sia maggiore o minore di [tex]b+d[/tex]?
Maggiore o minore non basta. Non basta perché c'è il quadrato che fa si che se il maggiore o minore dipende dal fatto che una somma è positiva e l'altra negativa (e non importa quale delle due sia positiva o negativa), dopo l'elevamente al quadrato questo tipo di maggiore o minore non conta più.
Maggiore o minore in...
Maggiore o minore in...
"WiZaRd":
Ti riferisci a questo?
[quote="simo90"]per il segno va bene ma per il resto devi ragionare cme ho fatto io prima: allora è un caso ricnducibile al primo infatti prendi $a>b$ e $a>b$ ; per il teorema dimostrato in precedenza (se $a>b>0$ e $c>d>0$ allora $ac>bd$) ottieni proprio che $a*a>b*b$ e così di seguito come volevasi dimostrare
Direi che è un modo un po' naif di usare l'induzione: per come è scritto c'è scritto semplicemente che se si continua con tre, quattro, cinque,..., centro,... termini la cosa continua a funzionare, ma questo non è usare l'induzione.[/quote]
mi riferisco al fatto che per dimostrare $a^n>b^n$ per ogni n devi prendere le due disuguaglianze a>b e a>b e applicarvi il primo teorema (quello per cui se $a>b>0$ e $c>d>0$ allora $ac>bd$) e così ottieni il caso per n=2; poi devi prendere $a^2>b^2$ e $a>b$; poi $a^3>b^3$ e $a>b$. quidni per induzione visto che funziona per n=0,1,"2"(questo non so se è giusto dirlo) funziona per tutto n
è giusto? infatti non mi sembra tanto induzione
valore assoluto!!! no?
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